为什么一定要有一个数的平方等于-1？

原文作者：张远南 张昶

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历史表明，人类接受一种新数的过程是漫长而坎坷的。
正数、负数、有理数、无理数在欧洲，负数的概念迟至12世纪末，才由意大利数学家莱昂纳多·斐波那契（Leonardo Fibonacci，约1170—约1250）做出正确的解释。但直到18世纪，欧洲仍有一些学者认为负数是“荒唐、无稽的”。他们振振有词地说，零是“什么也没有”，那么负数，即小于零的数是什么东西呢？难道会有什么东西比“什么也没有”还要小吗？！

无理数的出现，可以追溯到相当久远的年代。大约公元前5世纪，毕达哥拉斯学派的门人希帕斯发现，等腰直角三角形的斜边与直角边的比不可能表示为既约分数（即几何上的“不可公度”）。
希帕斯的思路说来也简单，他采用了“反证法”，即先假设能表示为既约分数（即p，q没有公因子），然后设法推出矛盾。过程如下：  显然，p必须是偶数，否则左式绝不等于右式。现令p=2p′（p′为整数），代入得这意味着q也必须是偶数，否则右式绝不等于左式。这样，p与q便至少有一个2的公因子，它与为既约分数的假设矛盾。为什么会出现矛盾呢？原因只能是一个，那就是最初关于可以表示为既约分数的假设是不对的。希帕斯的证明引起了毕达哥拉斯学派的恐慌，因为这个学派抱定“两条线段一定可以公度”的教义，他们宁可拒绝真理，也不愿放弃错误的信条，他们容不得希帕斯这样的“异端邪说”。可怜的希帕斯终于被毕达哥拉斯学派的忠实门徒，抛进大海喂了鲨鱼。人类认识无理数的过程，要比想象的更加漫长和曲折。从希帕斯起至基础理论基本完成止，整整经历了20多个世纪。从“无理数”这3个字的含义，就足以表明人类接受这一概念的艰辛。
正当人们依旧困惑于负数和无理数的时候，又一种披着极为神秘面纱的新数，闯进了数学领地。平方等于-1的复数i的诞生1484年，法国数学家N.许凯（N.Chuquet，1445—1500）在一本书中，把方程4+x23x的根写为尽管他一再声明这根是不可能的，但毕竟是第一次形式上出现了负数的平方根。这种情形对于今天的初中学生，依然是一个望而生畏的禁区。1545年，意大利数学家卡尔达诺在讨论是否有可能将10分为两个部分，而使两者之积等于40时，他指出，尽管这个问题没有实数解，然而，假如把答案写成和这样两个令人诧异的表达式，就能满足题目的要求。他验证说：  虽然卡尔达诺本人怀疑这一运算的合理性，但他终究是第一个认真对待数学领地这一不速之客的勇士。卡尔达诺之后，数学家们接触这种“虚幻”的数越来越多。大约100年之后，1637年，笛卡儿在他的《几何学》一书中，给负数的平方根起了一个“虚数”的名。

勒内·笛卡儿

又大约过了140年，大数学家欧拉开始用i（imaginary虚幻）表示1801年，高斯系统地使用了符号i，并把它与实数的混合物a+bi（a、b为实数）称为复数。此后i与复数便渐渐通行于全世界。起初虚数总给人以一种虚无缥缈的神秘感，因为在数轴上找不到它的位置。富有想象力的英国牛津大学教授约翰·沃利斯(John Wallis)，给虚数找到了一个绝妙的解释： 假定某人欠地10亩，即他有-10亩地，而这-10亩地又恰好是个正方形，那么它的边长不就是了吗？大胆揭开虚数神秘面纱的，是挪威测量学家韦塞尔（Wessel，1745—1818），他找到了复数的几何表示法。按韦塞尔的解析，一个复数如4+3i，可以如下图那样表示出来，其中4是水平方向的坐标，3是垂直方向的坐标。实数对应于横轴上的点，纯虚数对应于纵轴上的点。一个位于横轴上的实数a，当它乘以i时变成位于纵轴上的纯虚数ai。在几何上这相当于绕原点沿逆时针方向旋转90°。如果把ai再乘i，即又沿逆时针方向转90°，此时理应转回到横轴负向，这一点在下式中表示得更为明显： 有趣的是，一个数乘i，相当于绕原点沿逆时针方向转90°，这一规律，适用于所有的复数。

由于A、B分别对应于复数4+3i和-3+4i，从而∠AOB=90°。

复数在荒岛寻宝上的应用

下面是一则扣人心弦的荒岛寻宝的故事，读完之后读者将会看到，一旦复数在几何上有了立足点，它将是多么有用。从前，有个年轻人在曾祖父的遗物中偶然发现一张羊皮纸，纸上指明了一座宝藏，羊皮纸内容是这样的：  “乘船到北纬××，西经××，即可找到一座荒岛。岛的北岸有一大片草地。草地上有一棵橡树和一棵松树，还有一座绞架，那是我们过去用来吊死叛变者的。从绞架走到橡树，并记住走了多少步； 到了橡树向右拐个直角再走同样步数，在这里打个桩。然后回到绞架那里，再朝松树走去，同时记住所走的步数； 到了松树向左拐个直角再走这么多步，在那里也打个桩，在两个桩的正中挖掘，就可以得到宝藏。”年轻人欣喜万分，决心冒险一试，于是急忙租了一条船，载着满腔的希望驶到了荒岛。上岛之后我们年轻的冒险家立时陷入绝望之中。他虽然找到了橡树和松树，但绞架却不见了！长时间的雨淋日晒，绞架已经腐烂成土，一切痕迹都已不复存在。年轻人气恼地在岛上狂掘一阵，然而一切均属徒劳，终于两手空空，扫兴而归。这是一个令人伤心的故事。因为，如果这个年轻人懂得一点数学，特别是虚数的话，他本来是有可能找到宝藏的！下面我们来帮帮这个可怜的年轻人，尽管此时此刻对于他已经为时太晚。如上图所示，把荒岛看成一个复数平面，以两棵树所在的直线为实轴。过两树中点O，作与实轴垂直的直线OY为虚轴，而且以两树M、N之间距离的一半为长度单位。这样橡树M和松树N则分别位于实轴的+1与-1点。假设未知的绞架位置在Z点处，相应的复数为Z=a+bi既然绞架在Z点，松树N在-1点，则两者相对的方位便是Z-（-1）=Z+1。把这个数乘以i，就得到桩Z2的复数同理可得桩Z1的复数（右拐90°相当于乘以-i）： 宝藏在两根桩的正中，因此它所在位置的复数T为这就是说，不管绞架位于何处，宝藏总在虚轴上相应于复数i的那一点。读者若不信，可以自己拿张纸，变换几个绞架的位置，试试看会有什么结果。荒岛寻宝的故事已经结束，尽管故事中的情节可能是虚构的，但沿着-1平方根建立起来的复数体系，的确帮助人们在数学和其他科学领域中，找到一个又一个的宝藏。来源：《给孩子的数学故事书》作者：张远南 张昶编辑：张润昕

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编辑：紫苏妹妹爱学习

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