赤道上的时钟是否比两极慢？

来源：万象经验

作者：Eugene Wang

1905年，爱因斯坦在他的论文《论动体的电动力学》中提到了一个思想实验：两个完全相同的钟，一个放在赤道上，另一个放在北极。由于地球的自转，赤道的速度比极点快，所以赤道上的钟比北极还要慢。现在，我们知道这就是狭义相对论中速度造成的时间膨胀。

我们知道赤道的速度大约为464米/秒，根据狭义相对论时间膨胀公式，可以算得赤道的钟每天都会比北极的钟慢大约100纳秒。这个微小的时间差异在狭义相对论刚提出时无法测量，但随着原子钟的发展，人们发现地球表面的时间与地球的纬度无关。

因为还有一个因素需要考虑，这个因素就是地球的引力。地球不是一个完美的球体，由于它的旋转，它的两极略微扁平而赤道隆起。这意味着赤道表面比两极离地心更远，所以赤道表面物体所受的引力就比两极小。根据广义相对论，一个物体所经历的引力场越强，它的时钟走得就越慢。所以，北极的钟就比赤道表面的钟走得更慢。

那么这两种效应谁会胜出呢？事实证明，它们刚好完全抵消，无论纬度如何，海平面上的时钟都以相同的速度流逝，这一点已经通过原子钟的精确测量得到了验证。

事实上，这两种效应互相抵消并不是巧合。根据广义相对论，在弱引力场下时间的固有间隔dτ可以由以下公式给出：

其中Φ_g是地球的引力势。对于静止在地球表面的时钟，我们有dr=dθ=0和dΦ=ωdt，代入上式并进行整理可得到：

仔细观察一下，根号下括号内的式子正是有效势Φ_eq=Φ_g-1/2ω²r²sin²θ，它就是地球的引力势减去离心力产生的势。有效势在地球表面应该是一个常数，否则它就会产生一个梯度力，而我们并没有体验到这个力。也正是因为它是个常数，所以固有时间间隔dτ在地球海平面都是相同的。

如果我们想验证一个两极和赤道的有效势是否相等，下面的计算可以参考一下：

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编辑：薛定谔的薛定谔