椭圆的“无用之用”

文章来源：大小吴的数学课堂
原文作者：大小吴

提到椭圆，想必同学们第一反应是那复杂的解析几何计算.实际上，人类对椭圆的研究可以追溯到两千多年前，并且人们并非一开始就用所谓的标准方程来描述椭圆.

椭圆的历史其实是一个跨越千年的，关于如何追寻希腊神谕提出的问题，进而揭开太阳系的秘密，最终帮助启动科学革命的漫长故事.今天小编就和大家来聊聊椭圆的前世今生.

1 倍立方体

古希腊的一个传说讲述了受到瘟疫困扰的德洛斯岛的人们如何祈求阿波罗的神谕.神谕告诉他们把阿波罗的方形祭坛的大小加倍.德洛斯岛人意识到神谕要求的是一个体积为原来两倍的方形祭坛.当他们向柏拉图寻求建议时，柏拉图也一筹莫展，他只好告诉他们：

“

这份神谕告诫所有的希腊人远离战争和争夺，自己去学习，且……彼此间和谐生活，并使集体受益.

这即是著名的古希腊三大作图问题之一——“倍立方体”.尽管这个问题在后世被证明是不可尺规作图求解的.但是古希腊的数学家们在探寻这个问题的解决方法时意外地促使了圆锥曲线的诞生.

希波克拉底（Hippocrates，约公元前5世纪，此人是数学家，不是古希腊医学之父希波克拉底）指出了倍立方体问题可化为在一线段与其两倍长线段之间求两个比例中项的问题.用如今的代数符号书写，如果是原祭坛的棱长，即令满足

则

由一式得，代入二式或三式都可得

那么便是倍立方体问题所要求的解.

实际上，上述方程用今天解析几何的观点来看和无非就是两抛物线交点或一抛物线和一双曲线交点的横纵坐标.

后世的柏拉图学派学者梅内克缪斯（Menaechmus，约公元前4世纪）在研究倍立方体问题的过程中研究了圆锥曲线的性质，他利用三种顶角分别为锐角、直角、钝角的圆锥，再用垂直于母线的一个平面来割每个圆锥面，从而得到椭圆、抛物线和双曲线的一支.

2 阿波罗尼斯

与椭圆（或圆锥曲线）最密切相关的人，当属公元前3世纪的“大几何学家”阿波罗尼斯（Apollonius，约公元前262-190，又译作阿波罗尼奥斯），他是第一个依据同一个（正的或斜的）圆锥的截面来研究圆锥曲线理论的人，也是第一个发现双曲线有两支的人.

阿波罗尼斯是这样操作的：当一组对顶圆锥被一个不通过顶点的平面切割时，平面与圆锥面的交线就形成了一个叫做圆锥曲线（conic section）的曲线，或者简称为圆锥截面（conic）.

通过旋转平面，使其与轴的角度由垂直变为平行，阿波罗尼斯便得到了四种圆锥曲线——圆、椭圆、抛物线和双曲线.

圆锥曲线从旋转视角观察圆锥曲线

阿波罗尼斯通过纯几何的方法推导出了椭圆的基本性质.如图，圆锥的顶角为锐角，为母线上一点，过且垂直于母线的平面截圆锥得到椭圆，设为椭圆上任意一点，垂直于椭圆的长轴，过且平行于底面的平面截圆锥得到圆.作.

我们可以根据几何关系比较容易地得到：

又由于

因此

据此阿波罗尼斯指出，对于椭圆上任意一点，是定值.

事实上，这个描述转化为如今的代数语言就等价于：在平面直角坐标系中，定点，动点满足.

据此，我们可以列出如下关系式：

整理得到

我们知道，这实际上就是椭圆的标准方程，而且我们发现，阿波罗尼斯指出的这个比值实际上就是

阿波罗尼斯身处的古希腊时代还没有发展出系统的代数学，更遑论更加“先进”的几何坐标了，但是他凭借着高超的几何技巧整理了关于圆锥曲线的几乎所有命题，《圆锥曲线论》一书将这些几何对象统一在一个优雅的理论体系之中，这真是非常伟大的成就.

3 科学的曙光

《圆锥曲线论》问世后的将近2000年的时间，人们对于圆锥曲线的研究一直没有什么突破性的进展.直到16世纪，人们发现圆锥曲线不仅仅是依附在圆锥面上的静态曲线，也是自然界物体运动的普遍形式.意大利物理学家伽利略（Galileo Galilei，1564-1642）发现物体斜抛运动的轨迹是抛物线.德国天文学家开普勒（Johannes Kepler，1571-1630）发现了火星（所有行星）的轨道是一个焦点在太阳上的椭圆，并提出了行星运动三大定律.开普勒的灵感正是来源于阿波罗尼斯，在1603年他曾写信给一位朋友说：

“

阿波罗尼斯的《圆锥曲线论》全部内容都必须先消化，这是我现在近乎完成的工作.

开普勒还在其著作中提出了这样的猜想：太阳对行星施加了某种力，这种力会随着距离的增大而变小，使得行星沿着这样的（椭圆）轨道运动.

1684年，英国天文学家哈雷拜访了牛顿并与他讨论了行星的轨道问题.牛顿告诉哈雷：一个反平方的中心力会产生开普勒的椭圆轨道.哈雷非常吃惊，问他是怎么知道的，牛顿的回答很简单：我已经计算过了.几年后，牛顿的划时代巨著《自然哲学的数学原理》（Philosophiae Naturalis Principia Mathematica）横空出世.至此，开普勒的定律得到了证实，椭圆（圆锥曲线）被刻在了天空之上.

哈雷与牛顿

4 无用之用

如今我们已经看到越来越复杂的圆锥曲线应用——抛物面反射镜和光学透镜、椭圆卫星轨道、双曲无线电波导航等等.

光学透镜

椭圆卫星轨道

双曲无线电波导航

人们很难想象，椭圆（圆锥曲线）最初被研究也仅仅只是古希腊数学家们出于对几何的纯粹爱好而已，它和实际应用并没有什么关联.然而，正是这“无用之用”无意间深远影响并促进了人类科学的进步.它的效用恰好是人类纯粹好奇心的一种价值证明.

参考文献：[1]（美）M·克莱因.古今数学思想（第一册）[M].张理京,张锦炎译.上海科学技术出版社,1979.[2]（美）比尔·伯林霍夫,费尔南多·辜维亚.这才是好读的数学史[M].胡坦译.生云鹤审译.北京时代华文书局,2019.[3]王海青,李晓波.从阿波罗尼斯到柯西:“圆锥曲线”研究方法的变迁[J].数学通报,2018,57(10):26-31.[4]邹佳晨. 椭圆的历史与教学[D].华东师范大学,2010.

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