什么是自由？量子力学VS牛顿力学

文章来源：大学物理学

原文作者：薛德堡

如果有人问你什么是自由，你该怎么回答？

很多人会认为：无忧无虑，想去哪里就去哪里，想在什么时间干什么就干什么，就是真正的自由。

而反过来，你的不自由具体有哪些呢？

经过深思熟虑之后会发现，不自由包含两方面：

一是你的行为受到时间或空间的限制。

例如，你不能在某个时间段内干某件事，或者只能在某个时间段干某件事。

二是某种压力或推动力令你无法停歇。

例如，作为一枚鸡娃，你的父母每天都给你鼓劲，为了将来考个好大学，除了睡觉吃饭，你都在拼命学习。

若转到物理问题，不自由的情况相应也有两种。

第一种情况，物体的运动受到限制，或者说约束。它是通过一类叫约束力（也称约束反力）的作用来实现的。

在约束力的作用下，描述物体运动的变量满足一些方程，方程越多，解出的未知数就越多，剩下的独立变量就越少了。

如果有个质点，理论上讲，它的每个质点的位置需要3个独立坐标（,,）来确定，那么个质点一共需要个变量来描述。

假设它们一共受到个约束，由于每个约束对应一个方程，一个方程理论上可确定一个变量，这样就一共确定个变量，那么最终剩下的独立变量的个数为我们称这些独立变量的个数为体系的自由度。

例如，由个粒子组成的体系，若粒子在振动，但整体固定不动，则自由度为，为什么呢？留给读者自己想一想。

第二种情况，物体受到外力驱动，或者说受主动力作用。例如自由落体受到的重力、拖箱受到的水平拉力都是主动力。

约束力和主动力合在一起就是外力。所以，不自由的两种情况归根结蒂是一种机制所导致的，它就是外力作用。

总的说来，自由意味着不受外力，而不受外力的物体是自由的。

那么具体来讲，这种不受力而导致的自由是怎样一番图景呢？

牛顿第一定律回答了这个问题：不受力的物体将保持静止或匀速直线运动状态。

换句话说，自由的物体的将保持静止或匀速直线运动状态。

但你发现没有，这个自由其实有多么不自由！

试想，当我们说“一只鸟儿在空中自由的飞翔”时，难道是指它在一条直线上匀速地飞？显然不是！我们是指它随意地在任何地方飞，它往哪里飞都一样可能。

因此，若是真的自由，物体应该能出现在空间中任何地方！这是一个没受到牛顿第一定律影响的、具有正常逻辑思维的人对自由的直观理解。

但牛顿第一定律给出的自由却是：它要不呆在那里不动，要不就沿着一条直线匀速移动，只不过二选一罢了。

当然，你可能也会说，这很正常啊，自由不是绝对的，总要受到底层物理规律的约束。例如能量守恒定律、动量守恒定律和角动量守恒定律等等。

既然物体不受外力作用，那么按照动量守恒定律，它的动量不变，由于动量是矢量，动量守恒意味着运动的方向不变！所以物体只能有两种可能的选择：静止或匀速直线运动。

实际上，在宏观世界中，没有，也不可能有破坏牛顿第一定律的事情发生，要不然，牛顿力学早就被抛弃了！

看来，宏观世界中自由的确只能如此了！

那么，微观世界中的自由也是如此吗？

要知道，牛顿定律只适用于宏观世界，对微观粒子来说，它们服从量子力学的规律，而量子力学中并没有与牛顿第一定律一致的说法。

那么，在微观世界中，自由的粒子真的可以到处出现吗？

答案是：真的可以！量子力学给出的结果正是如此。

虽然量子力学总是那么不可思议的违反我们的直觉，但同时，在很多问题上，它却又与人类最一般的直觉完美符合！而自由粒子的运动规律就是其中的一个例子。

那么，具体来讲，量子力学中的自由粒子到底是怎么回事呢？

在量子力学中，粒子的状态是用波函数来描述的。而根据波函数的统计诠释，波函数的模的平方（简称模方）代表粒子在空间某点出现的概率。如果你想预测它将在哪里出现的机会最大，你只要按照波函数的模的平方来计算就可以了。

你只有一次机会找到它，无论你在哪里发现它，并不说明它是从另外某处赶过来的，因为它本来就在那里。虽然它其实也在其他的地方，但你的观测让它的波函数在它被发现的位置坍塌。

有一点值得强调的是，粒子并没有在空间中弥散开来，它是以整体按波函数的模方决定的概率分布在空间中各处。所以当它在某处被发现时，它将作为一个完整的个体被获得，拥有它的本来属性，包括电荷、质量和自旋等。

既然是自由粒子，那么理所当然，它在空间任意点出现的机会是一样的。所以，它不会停在某个地方不动，也不会沿着一条直线匀速运动，而是以相同的几率出现在空间任何一点。

看到没——以相同的概率出现在空间任何一点！试问，世界上还有比这更完美的自由吗？

有的人可能会有一些不切实际的“奇思妙想”，例如他觉得“随时随地想去哪里就去哪里，而且马上就到”才是真正的自由。

拜托，这可不是物理中的自由！恰好相反，这根本不是自由，因为这种“来去的自由”依赖于粒子的速度（因为要快）和加速度（因为要随时调换方向），粒子必然时刻受到强大外力的作用，怎么可能是物理上的自由呢？

在量子力学中，物理上的自由就是不受时空地限制，粒子能出现在所有的地方。并且再加了一个条件——相同的概率！

你可能觉得这个条件是画蛇添足，因为你可能想更多的呆在某个地方，呆在另一些地方的机会少一点，或者你甚至想随意的改变处在某点的概率，但现在却是同样的概率，这看起来不够自由啊！

这种想法与上面那个“奇思妙想”一样，不是物理中所说的“自由”，而是不自由。

说了这么多，你应该明白：量子力学中所给出的自由粒子所享有的自由是物理中最真正、最彻底的自由。而相比起来，牛顿第一定律中所说的那个自由不是真正的自由。

现在你可能有一个疑问：既然是自由粒子，它的动量守恒。那么，其动量应该始终沿某个方向，那它不一直沿着某个直线运动吗？如果这样的话，它哪有机会在整个空间中到处乱跑？

没错，自由粒子动量守恒，也就是说，粒子的动量的确是朝着某个方向。但是，这并不意味着粒子总是沿着某个方向运动！

按照量子力学的统计诠释，粒子只是神不知鬼不觉的突然出现在你探测到它的地方，你不需要也无法知道它是从哪里过来的，因为它在不同地方出现的概率是同时性的。它的整体随时可以出现在空间中任何一点。

所以，自由粒子并不会因为动量守恒而被限制在一个点或一条线上，它在空间各处出现的机会是均等的，它的状态是一种彻底的自由状态。

最后再来看看，满足这种概率均匀分布特征的自由粒子的状态描述是怎样的？又是如何得到的？

前面提到了，量子力学用波函数描述粒子状态，而波函数是量子力学的基本方程——薛定谔方程的解。所以，我们要描述自由粒子，就必须求解薛定谔方程。

薛定谔方程的基本形式为

其中代表来自外界的作用。既然现在是自由粒子，则，所以自由粒子满足的薛定谔方程为它的解是

这就是自由粒子的波函数。根据波函数的统计诠释，在空间任意点发现粒子的概率密度为这说明，在任意点发现粒子的概率是相同的。

说明：既然是自由粒子，其所在空间是无限大的，而粒子在每个地方又具有相同的发现概率，那么这个概率只能为零。因此，自由粒子不可能是定态。但这不影响自由粒子在空间各处概率相等这一结论。

根据德布罗意关系式

以及可得这个波在时刻的等相面为其中是波面上的点的位矢在波矢上的投影值。对相同的时刻，是定值，说明等相面都是平面，所以自由粒子的波函数具有平面波的形式。

需要说明的是，虽然经典的平面波的波函数还可以写成实数形式——或函数的形式，但作为含有虚数的薛定谔方程的解，自由粒子的波函数必须是复数形式。实际上，只有这样才能保证粒子概率均匀分布的要求，因为正弦或余弦函数的模方对空间依然是周期起伏的。

关于自由粒子的波函数的一件有意思的事情是，很多人喜欢利用自由粒子的波函数来“反推”薛定谔方程。

因为人们凭直觉相信，自由粒子的波函数应该具有平面波的形式。对此波函数求时间和空间偏导，可得到能量和动量的平方分别满足

联合经典力学中动量与能量之间的关系就可得到一个等式，该式正好是自由粒子所满足的薛定谔方程。在此基础上考虑到能量中应包含势能，这样就得到任意粒子所满足的薛定谔方程了。

之所以这里用带引号的“反推”，因为薛定谔方程现在被认为是量子力学的一条基本假设，是无法从别的结论推得的。也就是说，任何试图推导薛定谔方程的做法本身是没有意义的——虽然你的确可以用这种“反推”的方法找回你大脑中遗忘的薛定谔方程。

综上所述，关于自由的哲学观点，量子力学比牛顿力学先进多了！

其实，岂止自由这件事，在几乎所有方面，量子力学都比牛顿力学更先进和深刻。它被认为是人类洞察自然世界的最高成就。迄今为止，它的理论完美地描述了这个世界，虽然目前人类还无法真正理解它的本质。

参考文献

Griffiths, David J.; Schroeter, Darrell F. (2018). Introduction to Quantum Mechanics(Third ed.). Cambridge University Press.

END

编辑：陆定辞