魔术师怎么知道你脑中的数字的？

文章来源：中科院物理所

原文作者：Pradeep Mutalik

数学魔术就像读心术一样，你需要去揭示下面四个把戏背后的秘密。

数学遵循一定的逻辑。如果一种情况能够能用数学来准确地描述，那么有时可以提前几个世纪预测将来必定会发生的事情——例如，月食发生的时间。对于那些不熟悉预测背后的数学的人来说，这个结果看起来像是魔术。事实上，科幻作家亚瑟·查理斯·克拉克（Arthur C. Clarke）就说过：“任何足够先进的技术都与魔术无异。”

在今天的“洞察之谜”中，我们将探索四个数学魔术的例子，它们乍一看好像是读心术。就像舞台魔术一样，这些例子会让你思考：“他们是怎么知道我在想什么的？”

我们小时候大多数都有过这样的经历，一位朋友让我们想一个数字，但不要说出来。然后对这个数字进行一系列简单的算术运算，最后，朋友会云淡风轻地说出只有我们自己知道的秘密数字，多么令人惊奇！这是怎么做到的呢？

这里举个简单的例子，可能会让你周围的孩子大吃一惊，甚至激发他对数学的兴趣。《爱丽丝梦游仙境历险记》的作者刘易斯·卡罗尔（Lewis Carroll）正是出于这个目的而使用它的。卡罗尔是一位牛津数学家，也是一位酷爱出谜题的人，很多数学家都对他的谜题很感兴趣，包括著名的特伦斯·陶（Terence Tao）。

谜题1

这个魔术适用于可以算乘法的小孩子（如果不行，可以找人帮忙算）。让小红（或者小明）想一个三位数，但不要说出来，告诉他们你可以变出两个秘密数字。第一步，让小红把数字乘以7，然后乘以11，最后，加以适当的魔术表演与语言，再将结果乘以13。

如果她做对了，可能会发现她笑得很开心。而对你，或者对一个大一点的孩子来说，问题是——怎么做到的？

点击此处获得答案

聪明的读者已经发现了，这个过程其实是将秘密数字乘以 7 × 11 × 13 = 1,001，这个数字能将原始的三位数字“复制两份”，比如说秘密数字是 457：

这就是刘易斯·卡罗尔的数学难题。现在让我们进入更难的谜题。

谜题2

在2 和 9 之间有两个未知数字，这个数字可以包含2或9，也可以是一样的。S 和 P 是两位逻辑清晰的数学家， S 知道了两个数字的和，P 知道了两个数字的积。然后他们的对话如下：

S：我没法推断这两个数字是什么。

P：我也没法推断是什么。

S：哦，那我知道是什么了！

P：那我也知道了！

乍一看，这似乎是一种神奇的读心术——他们从哪里获得解决问题的新信息？你能找出这两个数字吗（有两个可能的答案），你能解释一下S和P是怎么做到的吗？

提示：将S和P的所有可能情况制成表格，找出在对话中可以推断的信息（记住要考虑所有可能的情况）。这并不涉及任何困难的计算，但容易混淆他们各自的信息。

点击此处获得答案

这里给出一种分析：根据可能的情况绘制 8×8的表格，表格的元素用（和，积）来表示，根据两人的对话对可能的数字进行分析：

1. S说他无法推断出这些数字是什么时，意思是，他得到的和在表格中不止一次出现，去掉那些只出现一次的数字：4（2+2）、5（2+3）、17（8+9）和18（9+9），这些可以从列表中删除，并在图中显示为灰色。

2.同理，P 说他也不能推导出这些数字，说明他得到的乘积也不止出现了一次，找到出现不止一次的数字：12（2×6，3×4）、16（2×8，4×4）、18（2×9，3×6）、24（3×8，4×6）和36（4×9，6×6）。这些结果以红色显示，其他的可能都排除。

3.S可以推导出乘积。这意味着在这些乘积中，对应他的数字只有一个是可能的。因此，我们需要观察每个求和对角线，选择只有一个红色乘积的对角线。可能的情况有：积为12、18、36和36，对应的和分别为7、9、12和13（用红色箭头所示）。

4.P可以推导出和，代表只有一个和与他的乘积对应。36可以排除，因为36的总和可能是12或13。因此，唯一可选择的和积对是（7，12）和（9，18），它们对应于原始数字对（3，4）和（3，6）。

答案（3，4）和（3，6）都符合问题陈述，并且都是正确的。然而，读者达米恩表示，只有一个正确答案（3，4）。在下一个谜题中可以看到，随着可选数字上限的增加，这类谜题的答案可能会改变，如果数字的范围从9变为10，那么（3，4）仍然是一个解，但是（3，6）就不是了，所以把（3，4）看作是原始问题的稳定解，像（3，6）这样在更改数字范围时出现和消失的解，称为“幻影解”（phantom solutions）。

下面是一个更难的版本，有更多的可能性。

谜题3

现在，同样还是两个数字（可以相等），现在它们介于2和70之间。同样的，给S出两个数字之和，给P出两个数字之积，他们对话如下

P：我没办法推断这两个数字是什么。

S：我本来可以告诉你的，尽管我也不能推断出数字。

P： 哦，现在我知道这两个数字是什么了！

S： 我也是！

再次找到这两个数字是什么，S 和 P 是怎么算出来的。

谜题2中，有15个不同的和和64个不同的乘积，谜题3中，有137个和及4761个乘积。

通过列表法可以找到谜题2 的解，但是到谜题3这里，可以尝试利用电子表格或者编程来计算，一些读者无疑会这样做。但如果仔细思考S的第一句话，可以用一些初始数论的思想来限制一些可能性，从而在纸上解决这个问题。所以第二个问题是：利用数论原理，在排除一些选项之后，手动计算的最小可能情况有多少种？

点击此处获得答案

这里给出参考的解决思路：

1.由于P不能推导出两个数，所以P不可能是两个素数的乘积，同样，S也不是两个素数的和。这里出现了哥德巴赫猜想，这也许是数论中未经证实的最著名的猜想了。哥德巴赫猜想指出：任一大于2的偶数都可以表示为两个素数之和。虽然这个猜想还没有证明，但是对于4 × 1018 以下的偶数都成立。因为我们猜的数的范围远小于此，因此可以肯定地说 S 不可能是偶数。

2.推导1的另一方面，我称之为推导2的是：S不可能是奇数的素数与2的和，因为2是素数。比如说S不可能是9，因为9是素数 7 与2的和，它们的乘积是14，只有一种分解：2×7，这种情况下，P会立刻知道这两个数字是什么。

3.最后，S必须小于等于2加上一个素数，这个素数是大于等于范围上限的一半的最小素数。比如范围为70时，这个素数就是大于70一半，即35的最小素数：37。根据规则，S不能大于等于39。这个条件是由乘积这一项的范围限制的。比如说，如果 S 是39，为37+2，其都是素数，会被马上推断出来，且不满足推导2。下一个奇数41，其乘积为37×4=148，分解为74×2 时，74超过范围；另一种分解37×4的可能也会马上推断出来两个数。同理，37+6，37+8，37+10……直到70。一般来说，任何大于39的奇数都可以表示为 37+X，其中X为偶数，因此这样的因子都可以被分解为 37×X 的形式。

4.根据上述推导，可以利用 S 和 P 的前三个对话将可能的数字缩减到 11, 17, 23, 27, 29, 35 和 37，这已经很棒了，但可以更进一步。S给出第四句的关键是：必须有一个唯一的乘积P对应S的和。来看 S=11 的情况，可以表示为 3+8或者3+23 也可能是7+4或7+22，如果P推导S为11，那么P可能是24，分解为3×8 的情况，S为11；另一种分解2×12的情况给出S为14，根据推导1不成立；4×6的情况S为10，同样排除。如果P为28，分解为4×7，S也为11，允许；分解为2×14，S为16，不允许。因此，给定S为11的情况下，无法确定 P 是24还是28，因此这里给出推导4：S不能为可以用 y+2n表示的形式，其中y为一个奇素数。

从目前的候选数字中来看，11已经被排除了。同理23 (19 + 4 和 7 + 16)，27 (23 + 4，19 + 8 和 11 + 16)，35 (31 + 4，19 + 16 ，3 + 32) 和 37 (29 + 8 和 5 + 32)也都被排除了。现在只剩下17和29这两个可能。可以排除29的选项，因为13+16、25+4都有可能，根据对话S必须只有一种选项。

下表中给出了S=17 的可能情况，第一列有一对候选数字，第二列对应着其乘积，第三列是针对乘积给出的可能数字，第四列为对应的第三列的和。第五列代表这些和根据对话是否是允许的（其必须是11、17、23、27、29、35和37中的一个）。哪怕是第五列得到的Y，也不代表P知道这两个数字，因为第一列的一对，可能有两种数字对。结合第六列，只有一种可能，即4×13，这就是谜题唯一的答案。

下一个问题展示了如何在纸牌戏法中展现读心术。但这个把戏是严格的数学技巧，背后有一些有趣的数学原理。

谜题4

一个“数学大师”扔掉了牌里面的2到6的数字，从而准备了一副32张牌。他将剩下的牌按照一定的顺序排列，然后牌面朝下放在桌子上。随机挑选五个人坐到桌子旁，然后他们一个接一个地切牌。然后第一个人拿走最上面的牌，将牌组传递给第二个人，第二个人依次拿着当前的最上面的牌，依此类推。当每个人都有一张卡片时，最后一个人将牌组正面朝下放回桌上，然后都回到自己的座位上。

现在，表演者要求五个人以心灵感应的方式向他传送卡片。他聚精会神地皱着眉头，最后，无奈地摇了摇头。“这几天越来越难了，宇宙膨胀导致红移，干扰了我接收到的颜色。请持有红牌的人站起来好吗？”

第二个和第五个参与者站了起来。这位数学家脸上掠过一丝宽慰的神色。“现在很清楚了，你有红心10，你有方块K。”事实确实是如此，他也猜对了其他三个人的牌。

他是怎么做到的？好吧，既然我告诉过你这个把戏是严格的数学技巧，很明显他记住了卡片顺序（可能使用了某种代码），而且卡片顺序在五次随机切牌中保存了下来，你知道为什么吗？

提示：考虑序列00010111，它周期性地包含了由0和1组成的八个可能的三联数：000、001、010、101、011、111、110和100。如果你像扑克牌一样“切”它，会发生什么？

表演者在舞台上的打趣是纯粹的戏谑还是戏法的关键？当你玩这个把戏的时候，你能想出卡牌的顺序么？

点击此处获得答案

这里给出一位读者提供的解法。

序列00010111称为0和1上的3阶德布鲁因(de Bruijn)序列。像扑克牌一样对它进行“切牌”就相当于把它循环若干次，与此同时，仍然保留其序列的属性。我们可以构造所有可能的由5个 B 和R构成的所有可能序列和，例如：

BBBBBRBBBRRBBRBRBBRRRBRBRRBRRRRR，

其长度为：25=32位，这跟我们卡牌数目一样，让德布鲁因序列中的每一个B对应一张黑牌，R对应一张红牌。B和R的每一种排列都是唯一的，所以一旦你知道红色在哪里，你就知道五张牌的整个顺序（BRBBR）。然后简单地记住卡牌的顺序，直到找到对应的这五张牌的顺序，你就知道答案了。在表演中，为了找到红色的牌的顺序，开玩笑的流程是必要的。

希望你能从以上谜题中的各种信息里面推断出更多的信息，这就是魔法的奥秘！去享受解开这些魔术的乐趣吧！

作者：Pradeep Mutalik

‍

翻译：Nuor

审校：zhenni

---

编辑：鹿定辞