趣味数学游戏：隐藏在生活中的超越数（上）

关于自然常数e的快乐谜题，难倒不少专业数学从业者，看看你能解决哪个？

图片来源：James Round/Quanta Magazine

π是我们所熟悉的超越数，因为它无处不在，但是欧拉数e是如何超越普通数的呢?

在日常语言中，"transcendental"这个词指的是某件超乎寻常的事，是隐秘且难以理解的，具有近乎于魔法或神秘的力量。另一方面，在数学中，“transcendental”一词的含义较为平凡。它简单地描述了一类数——超越数——它们不可能是多项式方程的解，如ax3+bx2+cx+d=0，其中系数a, b, c, d都是有理数，x的最高次幂可以是任何正整数。正如伟大的数学家欧拉（Leonhard Euler）所说：“它们超越了代数方法的力量。”

然而，“transcendental”这个词的日常内涵对于两个最著名的超越数——普适常数π和e——来说是真实的。这两个数字确实神秘而强大，并表现出几乎魔法般的性质。它们在数学的许多分支中发挥着核心作用，在你最意想不到的时候出现在问题的解决方案中。在这两个数中，π对我们大多数人来说要熟悉得多。每个学生都知道它的近似值，并在计算中使用过它。但另一个，欧拉数（自然常数）e或2.71828…，相对来说人们就不太清楚了。事实上，查尔斯·厄米特 (Charles Hermite) 在1873年证明了e是第一个非构造的超越数。这里须明确指出“非构造”（non-constructed），因为在1850年，约瑟夫·刘维尔（Joseph Liouville）提供了第一个可证明的超越数的例子——但这个数是他为那个唯一目的而构造的，它并不是自然地出现在任何数学分支中。当然，这使得它与e有很大的不同，后者在数学中几乎无处不在。许多人知道e是自然对数的底，并且出现在复利和指数增长、衰减等理论中，但在这些领域中我们去计算时并没有明确遇到e。今天将讨论一些普普通通的问题，其中e会意外出现，使我们对它的普遍性有大概的了解。

像π和其他超越数一样，e有一个无限的小数表示——它的数字无穷无尽，没有任何规律可循。即便如此，e的前15位数字还是有一个好玩的规则模式，而且很容易记住，只需如下分组：2.7 1828 1828 45 90 45。当然，这种规律性纯粹是巧合——其余的数字是完全随机的。但e有几个惊人的特性，使它在所有数中独一无二。在这一系列的谜题中，你将了解到其中的一些属性，有一些是经典的，当然，还有我自己添加的。欧拉数e会在它们中自然地出现，即使你只是模糊地理解e出现的原因，也能欣赏它们。这种transcendental显灵的确切细节就留给那些受过必要数学训练的人。看看谁能用最简单的方式表达这种联系。

任意取一个数，比如10，把它写成某些等大小的数的和，比如两个5，然后乘起来：5 × 5 = 25。现在可以把10写成3个，4个，5个或6个等大小的数的和，然后做同样的事情。在做乘积的时候会发生什么？

2 等分：5 × 5 = 25

3 等分：3.33 × 3.33 × 3.33 = 37.04

4 等分：2.5 × 2.5 × 2.5 × 2.5 = 39.06

5 等分：2 × 2 × 2 × 2 × 2 = 32

6 等分：1.67 × 1.67 × 1.67 × 1.67 × 1.67 × 1.67 = 21.43

可以看到乘积数增大，然后似乎达到最大值，之后开始减少。尝试对其他一些数（比如20和30）执行相同的操作。你会发现，在每种情况下都会发生同样的事情。这与数本身无关，而是由e的独特属性引起的。

a. 看看你是否能弄清楚乘积何时达到给定数的最大值，以及这与e有什么关系。如果遇到困难，请单击下面的提示。

(点击空白处查看内容)

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当每个等分的数值最接近e时，乘积达到最大值。

c. 这是一个经典问题，其解与e有关。你能解释一下e是如何进入答案的吗？

b. e是如何进入这个双人大礼堂的？

本文译自Where Transcendental Numbers Hide in Everyday Math 原文链接：https://www.quantamagazine.org/where-transcendental-numbers-hide-in-everyday-math-20211027/