冗余度TT-VGT机器人的神经网络自适应控制

    TT-VGT（Tetrahedron-Tetrahedron-Variable Geometry Truss）机器人是由多个四面体组成的变几何桁架机器人,图1所示为由N个四面体单元组成的冗余度TT-VGT机器人操作手,平面ABC为机器人的基础平台,基本单元中各杆之间由较铰连接,通过可伸缩构件li(i=1,2,…,n)的长度变化改变机构的构形。图2所示为其中的两个单元的TT-VGT机构,设平面ABC和平面BCD的夹角用中间变量qi(i=1,2,…,n)表示,qi与li(I=1,2,…,n)的关系如下[2]：

式中,d表示TT-VGT中不可伸缩构件的长度,

li表示机器人可伸缩构件的长度。

    TT-VGT机器人关节驱动力F与力矩τ的关系为：

F=Bττ     (2)

式中,Bτ为对角矩阵,对角元素Bτi为：

1 状态模型

    机器人的自适应控制是与机器人的动力学密切相关的。机器人的动力学方程的一般形式可如下表示（不考虑外力的作用）：

τ=D（q）q+C(q,q)q+G(q)q    (4)

式中,D（q）∈R n×n为广义质量矩阵（惯性矩阵）,

C（q,q）∈Rn×(n×n)为向心力及哥氏力作用的矩阵,

G（q）∈R n为重力矩阵,

τ∈R n表示机器人的驱动力矩。

    对于TT-VGT机器人,用杆件变量li,ii,Li（i=1,2…,n）代替中间变量qi,qi,qi（i=1,2…,n）（见式（1））,则试（4）可表示为：

F=D（l）l+C（l,i）i+G(l)l    (5)

式中,F∈Rn表示机器人的驱动力。

    可把式（5）表示为下列状态方程：

x=A(x,t)x+B(x,t)F   （7）

式中,

    上述机器人动力学模型就是机器人自适应控制器的调节对象。

    考虑到传动装置的动力学控制系统模型如下式所示：

式中,u、l——传动装置的输入电压和位移矢量,

Ma、Ja、Ba——传动装置的驱动力矩比例系数、转动惯量和阻尼系数（对角矩阵）。

    联立求解式（5）和式（9）,并定义：

    可求得机器人传动系统的时变非线性状态模型如下：

2 Lyapunov模式参考自适应控制器设计

    定理 设系统的运动方程为：

e=Ae+Bφr    （13）

φ=-RB T Per     (14)

式中,e为n维向量,r为l维向量,A、B、φ分别为（n×n）、（n×m）、（m×l）维满秩矩阵,R与P分别为（m×m）、（n×n）维正定对称矩阵。

    假若矩阵P满足Lyapunov方程：

PA+A TP=-Q    （15）

式中,Q为（n×n）维正定对称矩阵。

    同该系统的平衡点e,φ是稳定的。

    如果向量r又是由l个或更多不同频率的分量所组成,那么该平衡点还是渐近稳定的。其证明可参看文献[4]。选择如下的稳定的线性定常系统为参考模型：

y=Amx+Bmr    （16）

    式中,y——参考模型状态矢量：

式中,∧1——含有ωi项的（n×n）对角矩阵,

∧2——含有2ξωi项的n×n对角矩阵。

    式（18）表示n个含有指定参数ξ和ωi的去耦二除微分方程式：

yi+2ξiωiyi+ωi2yi=ωi2r    （19）

    令控制器输入为：u=Kxx+Kur     （20）

式中,Kx、Ku——可调反馈矩阵和前馈矩阵。

    根据式（20）可得式（11）的闭环系统状态模型为：

x=As(x,t)x+Bs(x,t)u    （21）

式中,As(x,t)=Ap(x,t)+Bp(x,t)Kx,Bs(x,t)=Bp(x,t)Ku    (22)

    将式（12）代入式（22）,可得：

    适当地设计Kxi、Ku,能够使式（11）所示系统与式（16）所代表的参考模型完全匹配。

    定义状态误差矢量为：

e=y-x    （24）

则e=Ame+（Am-As）x+(Bm-Bs)r    （25）

    控制目标是为Kx和Ku找出一种调整算法,使得状态误差趋近于零,即：

    对脚式（13）与式（14）,选取正定Lyapunov函数V为：

式中,P——正定矩阵,

FA和FB——正定自适应增益矩阵。

    对上式微分,得

    根据Lyapunov稳定性理论,保证满足式（24）为稳定的充要条件是V为负定,由此可求得：

    将式（22）求导并与式（30）联立求解,同时考虑到控制器稳定时式（11）所示系统与式（16）所代表的参考模型完全匹配,可得

    由此已得到控制器的自适应控制律。

3 TT-VGT机器人的神经网络自适应控制

    本文采用直接MRAC（模型参考自适应控制）神经网络控制器对TT-VGT机器人进行控制。在图3中,NNC（神经网络控制器）力图维持机器人输出与参考模型输出之差e（t）=l(t)-lm(t) →。即通过误差反传,并采用上节的自适应算法,调节NNC,使得其输出控制机器人运动到误差e(t)为0。

    神经网络模型如图4所示。

4 实例分析

    以四得四面体为例,如图5所示建立基础坐标系,末端参考点H位于末端平台EFG的中点。设参考点H在基础坐标系中,从点（0.8640,-0.6265,0.5005）直线运动到点（1.8725,0.5078,0.7981）,只实现空间的位置,不实现姿态。运动的整个时间T设定5秒,运动轨迹分为等时间间隔的100个区间。不失一般性要求,末端在轨迹的前40个区间匀加速度运动（a=0.2578）,中间20个工间匀速度运动,最后40个区间匀减速度运动（a=-0.2578）,开始和结束时的末端速度为。设各定长构件长度为1m,机构中各杆质量为1kg,并将质量向四面体各顶点对称简化。

    传动装置的参数如下：

Ma=4.0×10e -3kg·m/V;Ba=0.01N·m/(rad·s -1);

    近似认为各关节电动机轴上的总转动惯量在运动过程中保持不变,其值分别为：

J1=0.734kg·m2;J2=0.715kg·m2;

J3=0.537kg·m2;J4=0.338kg·m2

    末端位置误差曲线如图6所示。从误差曲线可看出,用神经网络自适应控制的机器人位置控制精度较高,稳定性较好。

    本文提出采用直接MRAC神经网络自适应器对机器人进行轨迹控制的方案;建立机器人状态模型,推导出自适应控制算法,并对冗余度TT-VGT机器人轨迹控制进行了仿真。结果表明,该方案控制误差较小,稳定性较好。