基于FPGA的Kalman滤波器实现研究

摘要：卡尔曼(Kalman)滤波计算精度和速度是工程应用中是否成功的决定性条件，为进一步提高Kalman滤波算法在更复杂的环境下使用的性能，并能够同时满足实时性和精度的要求，采用现场可编程逻辑阵列(FPGA)技术，设计了Kaiman滤波算法在FPGA上的实现方案，选择了一种可以同时满足精度和实时性的方案进行实现，对算法中的矩阵相乘、状态机的应用以及资源分时复用等关键技术进行了设计。通过与Matlab及DSP的计算结果相对比，验证了在FPGA内实现Kalman滤波器的优势。
关键词：FPGA；Kalman滤波器；IP核；实时性

    Kalman滤波理论在20世纪60年代一经提出，便得到了军事、控制、通信等领域的极广泛的应用。它可以实现随机干扰下的线性动态系统的最优估计，目前Kalman滤波器的实现方式主要有两种，一是在PC机上实现，可以同时满足计算精度和实时性的要求，但是PC机体积大，质量重，成本高；二是通过DSP等芯片来实现，用这种方式实现的Kalman滤波器虽然体积小，质量轻，但是因其指令顺序执行的CPU架构，在系统复杂时无法满足系统的实时性要求。随着控制系统的复杂性的提高，系统的阶次变大，如组合导航系统的滤波，其滤波的阶次一般都要18阶，如果对系统进一步细化建模或增加其复杂性，其滤波阶次可以达到几十阶。因此，Kalman滤波器在工程应用中的实现遇到了系统体积、重量、成本和系统精度、速度等性能不能兼顾的问题。随着现代电子技术的发展，FPGA具有系统结构和逻辑单元灵活、集成度高以及适用范围宽等特点，可以很好地解决这个难题。因为FPGA采用的是硬件并行算法，能很好的解决速度和实时性的问题，并且其具有灵活的可配置特性和优良的抗干扰能力，使得FPGA构成的数字信号处理系统非常易于修改、测试及硬件升级。随着FPGA技术的不断成熟，其内嵌资源不断丰富，硬核乘法器和块RAM的数目不断增长，使得FPGA实现复杂的数字信号处理算法变得更为简单和快速。因此，本文对FPGA技术和Kalman滤波算法进行结合研究，探索Kalman滤波算法在FPGA中的实现方式并进行性能验证，以对基于FPGA的Kalman滤波算法的工程实现提供参考。

1 Kalman滤波算法理论
    Kalman滤波是在时域内以信号的一、二阶统计特性已知为前提、以均方误差极小为判据，能自动跟踪信号统计性质的非平稳变化，具有递归性质的一种算法。它处理的对象是随机系统，并能正确估计出有用信号。设离散系统差分方程如下：
   

    则Kalman滤波方程组如下：
    状态一步预测方程：

    从式(1)～(6)可知，若利用传统的处理器实现Kalman滤波算法，由于其指令执行的顺序性，至少需要分为5步来实现，其中每一步还都需要进行至少1次的加法和乘法等运算，每次运算都要顺序执行，其执行速度和效率很低；如果利用FPGA来进行Kalman滤波，根据其各步的逻辑关系，可以分为3步来实现，即第一步计算状态一步预测值

和一步预测均方误差Pk+1／k，第二步计算滤波增益Kk+1，第三步计算状态最优估值

和估计均方误差Pk+1／k+1。由此可知，利用FPGA技术可以实现Kalman滤波的并行计算，压缩计算时间，提高解算速度。因此，对FPGA的Kalman滤波进行研究开发，可实现基于FPGA的快速Kalman滤波解算，满足在对实时性要求更高的环境中使用。
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2 在FPGA中实现Kalman滤波算法研究
    由于FPGA实现Kalman滤波解算速度非常快，若利用FPGA的串行口依次输入观测值，由于数据串行输入的特点，会使FPGA的解算部分等待数据接收完毕才能执行滤波解算，导致整体的解算时间过长。为检验FPGA实现Kalman滤波器的计算性能，本文预先将观测值输入并保存于FPGA内的ROM中，以使FPGA可以连续地进行滤波解算，实现方案原理如图1所示。

    图1中，Kalman滤波解算在FPGA内完成，RAM和ROM使用FPGA内嵌的硬件RAM存储器，其中RAM暂存每步的中间结果，ROM存放滤波中的固定系数，如观测矩阵、噪声系数阵等。Kalman滤波的解算过程主要利用内嵌的硬核乘法器等资源来完成。因解算速度较快，解算结果暂存于一个稍大的存储器内，同时通过串行口输出到PC机上保存用于分析。该方案的关键问题是在FPGA中实现Kalman滤波算法。
    FPGA实现Kalman滤波器，其实质就是控制数据的转移和存储并实现矩阵的相乘、加、减、求逆等运算。其中，数据的转移控制需要有限状态机(FSM)来完成，同时FPGA设计中，不可避免的会遇到资源与速度的问题。因此，需要对上述各关键技术进行研究和实现。
2．1 矩阵相乘在FPGA中的实现
    Kalman滤波计算中最基本的步骤就是矩阵相乘。对于其中最常见的D=A×B×C型的矩阵相乘，有两种实现方式：方式一，分步相乘；方式二，直接相乘。事先将矩阵A，B，C分别存入ROM1，ROM2，ROM3中，方式一中，首先进行两个矩阵的相乘，多路选择开关MUX选通ROM1和ROM2，依次读取其中的数据进行乘加，完成前面两个矩阵的相乘，结果存入ROMTEMP中；然后，MUX选通ROMTEMP和ROM3，利用前面同样的资源，完成三个矩阵的连乘。方式二中，ROM1，ROM2，ROM3同时输出数据，MUX根据解算需要配置乘法器和加法器的输入，所有的过程同时进行。从上面的执行过程可知，方式一的执行需要占用更多的时间，而方式二的执行会占用更多的资源。对于上述N阶的3个矩阵相乘，其占用资源和所需时间如表1所示。

    由表1可知，对于维数越大的矩阵相乘，需要的浮点加法器越多。由于浮点加法器的生成利用FPGA内的基本逻辑单元——可配置逻辑块(CLB)，所以其占用的CLB等资源也越多。这种现象在上述方式二中尤为突出。本文中研究拟先实现二阶Kalman滤波器，阶次较低，资源相对充足，为检验FPGA实现Kalman滤波器的快速性，选用第二种方式进行矩阵相乘，以得到最快的解算速度。
2．2 有限状态机的运用
    有限状态机是一种用来进行对象行为建模的工具，其作用主要是描述对象在它的生命周期内所经历的状态序列，以及如何响应来自外界的各种事件。Kalman滤波中，由于解算过程中的逻辑关系，需要分步进行，所以需要用有限状态机来控制各步的转移。根据各步间的逻辑关系，可以将其大致分为4个状态：S0，S1，S2和S3状态。其中，S0为初始化状态，之后进入S1状态，计算

和Pk+1／k，然后进入S2状态，计算Kk+1，最后计算解算结果

和Pk+1／k+1。计算Kk+1时，也需要将其分步实现。若将各步的解算归于同一个状态机内，则显得逻辑复杂。为使得各步的逻辑更加清晰，并且增加状态机的稳定性和安全性，使用交互状态机，如图2所示。

    图2中，状态机的交互过程中，没置标志信号enble和finish分别用于启动和终止计算K值的状态，初始化时其值均为0。当计算完第一步进入S2时，enble置为1，启动计算K值的状态；当K值计算完成时，finish置为1，进入S3，enble和finish置为初值0，为下次状态交互做准备。进入原状态机继续进行下面的计算。
    书写状态机时，采用三段式写法，一个模块采用同步时序描述状态转移，另一个模块采用组合逻辑判断转移条件并进行状态转移，第三个模块实现同步输出。三段式描述方法的状态机，做到了同步寄存器输出，消除了组合逻辑输出的不稳定和毛刺现象，而且更利于时序路径分组，综合与布局布线效果更佳。
2．3 资源分时复用
    FPGA设计中，资源与速度是个矛盾体。FPGA中的资源是有限的，所以必须考虑资源的节省问题。由于Kalman滤波可以分3步进行，所以每一步可以利用其它步中相同的资源。此种方法可以在不降低总体速度的情况下，减少资源利用量；而对于阶次较高的Kalman滤波，此方法可以最大限度的增加并行性，提高速度。该设计中用到大量的乘法器、加法器以及CLB等资源，计算第一步时用到的资源会在第二步和第三步中用到，即同一资源被用到3次。以其中用到的某乘法器的分时复用为例，其输入端口在不同的时刻可以有不同的赋值，实现语句如下：
   

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3 性能对比及分析
    为验证本文研究利用FPGA实现Kalman滤波算法的性能，采用二阶Kalman滤波器进行实际性能对比测试。建立数学模型如下：选取状态转移矩阵

，无控制量，即控制阵Uk=0，噪声系数矩阵

，Wk是系统动态噪声，是均值为0、方差阵为

的白噪声随机序列，观测系数矩阵Hk+1=[1，0]，Vk+1表示观测噪声，为均值为0，方差为2的白噪声；初始状态协方差阵为

。
    对于该滤波器分别利用三种方式实现：采用Matlab在PC机上实现、利用DSP实现和利用FPGA实现。其中，PC机为DELL Dimension4700台式机，安装Matlab 7．0软件；DSP选用双精度浮点型TMS320C6713型号的芯片；FPGA型号为XC2VP30，主频100 MHz，内嵌多达136个硬核乘法器和2 MB硬件RAM。为得到更准确合理的结果，分别截取第1～3次、11～13次、21～23次的计算结果来对比。因为在PC机上利用Matlab实现的Kalman滤波器通过软件设置可以达到很高的计算精度，所以将其得到的结果作为标准值(真值)，分别用FPGA实现和DSP实现的结果与其进行对比分析。选取估计均方误差阵Pk+1／k+1的第一个元素来进行对比分析各实现方式的性能，其解算结果对比如表2和表3所示。

    由表2可知，利用FPGA实现的滤波结果，其精度与用Matlab实现的精度相差无几，且略高于利用DSP实现的单精度的结果。由表3可知，在解算时间方面，利用FPGA实现方式的快速性远远高于利用其他两种方式。而且，对于阶次越高的Kalman滤波器的实现，传统处理器所需的时间越长，利用FPGA实现方式的时间的优越性越显著。

4 结语
    针对Kalman滤波的传统实现方法的不足，本文提出利用具有可并行计算特点的FPGA来实现Kalman滤波的方案，并对FPGA实现Kalman滤波的三种方式进行了研究，确定了利用IP核作为主要计算元件的实现方式。对Kalman滤波实现过程中的关键问题进行了研究和实现。通过对PC机、DSP和FPGA三种实现方式的结果对比，验证了利用FGPA实现的Kalman滤波器具有较高的精度和极高的实时性。