如何利用新型微分器处理离散时域信号

    在连续信号领域，微分的概念定义明确，而在离散域并非如此。然而，好在我们可以近似计算离散信号的微分。(DSP纯化论者更喜欢使用“数字差分器”这一术语，我们还是使用“微分器”)。

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    要理解微分的概念，可以考虑式(1)的连续正弦波，其频率为rad./s。

    该正弦波的导数为：

    因此，正弦波的导数为幅度正比于原始x(t)正弦波频率的余弦波。根据式(2)，理想微分器的频率幅度响应随频率ω的增加而直线增加。考虑到这一点，对下面两个普通离散时间FIR(非递归)微分器，一个是一阶差分器，另一个是一个中心差分器。它们都是估算数字x(n)时域信号序列导数的简单计算方法。

    一阶差分器简单计算连续x(n)信号采样的差，在时域里定义为：

    该微分器的频率幅度响应为如图1中的虚线|Hfd(ω)|。作为比较，图1也示出了一个理想微分器直线|Hidea(ω)|=幅度响应曲线。图中的频率轴包括正频率范围0≤ω≤π采样/弧度，对应0~fs/2周期的频率范围，其中fs为x(n)采样率，单位为赫兹。

    式3简洁，但缺点是其|Hfd(ω)|会将高频噪声放大，常对真实信号造成干扰。因此，实际上经常使用中间差分微分器。中间差分微分器的时域表达式为：

    中间差分微分器的频率幅度响应为图1中的点线|Hcd(ω)|。|Hcd(ω)|的理想高频(噪声)衰减受到限制，其线性工作频率范围为仅从0到约0.16 π采样/弧度(0.08fs Hz)之间。遗憾的是，该范围小于一阶微分器的线性工作频率范围。

    上面已经提到，本设计指南介绍一种第三选择，为一个高效计算微分器，它保持了中间差分微分器的高频衰减性能优点，同时扩展了其线性工作频率范围。该微分器定义为：

    该新颖的微分器的归一化频率幅度响应为图1中的实|Hdif(ω)|线，其线性工作频率范围为从0~约0.34π采样/弧度(0.17fs Hz)，为中间差分微分器可用频率范围的两倍。

    该微分器的实现如图2所示，其中一个延迟块包含两个单位延迟。该微分器的折叠FIR结构如图3所示，表示出了对每个ydif(n)输出采样，只需进行一次倍乘。ydif(n)微分器的真正灵活性是其非单位系数(±1/16)为2的整数次幂。这样，可以算术右移4位进行倍乘。这种二进制位右移是一种线性相位无乘法器的微分器。

    ydif(n)微分器另一个重要特性是其时间延迟(群延迟)精确地为三个采样周期(3/fs)，使其可用于流行的FM解调中。