一文讲透一阶系统的系统响应、传递函数和输出响应

一：一阶系统响应定义

通常来讲，一阶系统分为电压驱动一阶系统(a)以及电流驱动一阶系统(b)，如下图所示：

 

 

这两个一阶系统在线路上是完全等效的。它们的阶跃响应如下：

 

 

电压或者电流的上升时间在这里定义为从10%开始，上升到90%结束所需要的时间。对于一阶系统，可以推导出上升时间为：

 

 

 

 

带宽定义为AC输入信号激励下输出响应幅值降到直流信号幅值的70.7%(或-3dB)所对应的频率。

一阶系统的传递函数表达式如下：

 

 

由此可以推导出一阶系统的带宽为：

 

 

由以上数学表达式，我们很容易得出一阶系统的上升时间与带宽的关系为：

 

 

由此可知，一阶系统的上升时间与带宽成反比，这也就是为什么我们经常说带宽变宽，系统响应速度会变快的理论解释。

二：一阶系统在低频和高频下的近似响应

从一阶系统的传递函数，我们知道一阶系统的幅值，相角以及群延时的表达式如下：

 

 

其中群延时是表征系统中频率信号所经历的延时时间。

一阶系统只有一个极点，接下来我们看看此一阶系统在低频和高频下的行为是怎么样的，低频或者高频都是相对极点频率所言。对于高频，我们假定wτ?1，此时一阶系统的幅值、相角以及群延时近似为：

 

 

因此，对于高频一阶系统，传递函数的幅值近似以20dB/十倍频的速度衰减，相移近似为-90度，群延时随着频率的平方减少，频率高的信号比频率低的信号群延时要少。[!--empirenews.page--]

对于低频信号，即wτ?1，我们可以近似得到如下传函：

 

 

因此，对于低频一阶系统，传递函数的幅值近似为单位1，负的相移与频率近似成线性关系。群延时只与时间常数有关，也就是说，极点会贡献有限的相移。比如频率比极点频率低10倍频的频率点，极点会贡献约-5.7度的相移。如果负的相移过大，就会引起系统振荡。

三：一阶系统阶跃短时输出响应

接下来，我们研究一下当一阶系统发生阶跃响应后，在起始很短一段时间内(远小于一阶系统时间常数τ)的输出是什么样子的。因为这一结论在实际工程应用中更为常见。

 

 

 

 

我们可以借用指数函数的展开式进行近似计算，由

 

 

我们可以得到：

 

 

因此，在阶跃响应发生后很短一段时间内，电压看上去随时间是线性变化的。由此可以推出流过电容的电流近似是恒定的：

 

 

下面我们就用以上结论分析全桥整流系统的纹波电压。一全桥整流系统如下：

 

 

此系统输入为120VRMS/60Hz的正弦波，RC时间常数为(100ohm)(1000uF)=100ms，远远大于输入正弦波整流后馒头波的周期8.3ms(1/120Hz)。因此我们利用上述结论可以比较容易算出电容上的纹波电压：

输出电压最大值近似为170V;

流过100ohm电阻的电流近似为常数170V/100ohm=1.7A

电容会以8.3ms的时间常数进行放电来维持电阻上的电流(此时整流桥四个二极管全部关闭)

由I=Cdv/dt，我们就可以得到电容上的纹波电压为：

 

 

利用LTspice或者Pspice仿真软件，我们可以得到这一结果：

 

 

接下来会简单介绍二阶系统。