我是 雪天鱼，一名FPGA爱好者，研究方向是FPGA架构探索和数字IC设计。

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一、数学基础：标量，向量，矩阵与张量

一个标量（Scalar）就是一个单独的数；一个向量就是一列数，这些数是有序排列的。通过索引，、可以确定对应的每个单独的数；矩阵是二维数组，其中的每一个元素被两个索引而非一个所确定。几何代数中定义的张量是基于向量和矩阵的推广，通俗一点理解的话，可以将标量视为零阶张量，向量视为一阶张量，那么矩阵就是二阶张量，任意一张彩色图片表示成一个三阶张量，三个维度分别是图片的高度、宽度和色彩数据。所以Tensor一般指三阶及更高阶的张量。

二、自动求导

x = torch.tensor([2.0], requires_grad = True)
a = torch.tensor([4.0], requires_grad = True)
y = x * a

# 求计算图各节点导数
y.backward()    

print(x.grad)   # y 对 x 的偏导 -> a
print(a.grad)   # y 对 a 的偏导 -> x

结果：

pytorch 自动求导方式很简单，定义一个表达式 y，然后 y 由变量（一般为标量）x1，x2，x3...计算得到，那么此时调用 y.backward() 进行反向传播，对各变量计算梯度（即偏导数），然后这些梯度会保存在变量的 grad 属性中。再举个例子，如下所示，对 y=x**4 求导

三、线性回归与拟合

在上图中有很多蓝点，也就是数据，我们所要做的是找出一条直线，能尽可能多的经过这些数据点，也就是达到尽可能好的拟合效果，求出斜率W和截距b。可采用迭代法，即先随机初始化一个 W 和 b，然后设置一个 loss函数（即能衡量拟合效果优劣的指标），然后根据 loss 去修改 W 和 b，目标是使 loss 尽可能的小，即拟合效果尽可能的好。示意图如下所示：

对于线性回归而言，这个衡量指标为：

即预测值与真实值之间差值的均方差，每次调整 w 和 b ，都是为了使此 loss 更小，所以就可以转化为优化问题：

那么具体怎么调整 w，b呢？即在当前位置，w是变大还是变小，b是变大还是变小。解决方法就是通过梯度（偏导数）来判断增大还是减小所要调整的参数，以 w 为例，当 loss 对 w 的偏导数，即梯度为正表示该处 loss 随 w 增大而增大，故减小 w，f反之梯度为负表示该处 loss 随 w 增大而增大减小，故增大 w。 而具体增大多少，减小多少则由学习率（learning rate）和梯度共同决定，学习率越大，收敛越快，这很容易理解，因为移动的步伐增大了嘛，但同时也可以错过最佳拟合点。代码示例：

x_train = torch.rand(100)  
y_train = x_train * 2 + 3  # 目标曲线：w = 2, b = 3, y = 2 * x + 3
# (x_train,y_train)即为要拟合的数据

# 初始化 w 和 b
w = torch.tensor([0.0],requires_grad = True)
b = torch.tensor([0.0],requires_grad = True)

# 拟合
lr = 0.015 # 学习率
loss_func = torch.nn.MSELoss() # loss 函数，衡量拟合效果，越小越好
for i in range(200):
    y_pre = x_train * w + b # 预测值

    loss = loss_func(y_train, y_pre) # 输入预测值与实际值，计算 loss
    if i % 10 == 0: # 每 10 轮输出一次 w, b, loss
        print("Iter: %d, w: %.4f, b: %.4f, training loss: %.4f" % (i, w.item(), b.item(), loss.item()))
    loss.backward() # 反相传播，计算 loss 对 w 和 b 的偏导数

    # 调整 w 和 b
    w.data -= w.grad * lr
    b.data -= b.grad * lr

    # 梯度清零
    w.grad.data.zero_()
    b.grad.data.zero_()

结果：

从结果上来看，可以发现 loss 越来越小，说明拟合结果越来越好， w 和 b 也是分别越来越靠近 2 和 3，这就是迭代法。

四、Pytorch 写法

写法总结为：

示例代码：

import torch 

# 1 定义 model，给训练输入，输出对应预测值
class SimpleLinear:
    def __init__(self):
        self.w = torch.tensor([0.0], requires_grad=True)
        self.b = torch.tensor([0.0], requires_grad=True)
    # 前向传播获得预测值
    def forward(self, x):
        y = self.w * x + self.b
        return y

    def parameters(self):
        return [self.w, self.b]

    def __call__(self, x):
        return self.forward(x)

# 2 定义优化器
class Optimizer:
    def __init__(self, parameters, lr):
        self.parameters = parameters
        self.lr = lr

    # 更新参数
    def step(self):
        for para in self.parameters:
            para.data -= para.grad * self.lr
    # 清零参数的梯度
    def zero_grad(self):
        for para in self.parameters:
            para.grad.data.zero_()

# 3 训练
def train():
    model = SimpleLinear()
    opt = Optimizer(model.parameters(), lr=0.3)

    for epoch in range(10):
        output = model(x_train)
        loss = loss_func(y_train, output)
        loss.backward()
        opt.step()
        opt.zero_grad()
        print('Epoch {},w:{:.4f} b:{:.4f},loss is {:.4f}'.format(epoch,model.parameters()[0].item(),
                                                             model.parameters()[1].item(), loss.item()))

train()

结果：

五、实战

以 MNIST 数据集为例，做手写数字识别网络的训练与评估。示例代码：

import math
import torch
import torch.nn as nn
import torch.nn.functional as F
from torchvision import datasets, transforms
import torch.utils.data

# 定义 model 
class Net(nn.Module):
    def __init__(self):
        super(Net, self).__init__()
        # torch.nn.Conv2d(in_channels, out_channels, kernel_size,
        # stride=1, padding=0, dilation=1, groups=1, bias=True, padding_mode='zeros')
        self.conv1 = nn.Conv2d(1, 32, 3, 1)
        self.conv2 = nn.Conv2d(32, 64, 3, 1)
        self.dropout1 = nn.Dropout2d(0.25)
        self.dropout2 = nn.Dropout2d(0.5)
        self.fc1 = nn.Linear(9216, 128)
        self.fc2 = nn.Linear(128, 10)

    def forward(self, x):
        x = self.conv1(x)
        x = F.relu(x)
        x = self.conv2(x)
        x = F.max_pool2d(x, 2)
        x = self.dropout1(x)
        x = torch.flatten(x, 1)
        x = self.fc1(x)
        x = F.relu(x)
        x = self.dropout2(x)
        x = self.fc2(x)
        output = F.log_softmax(x, dim=1)
        return output

def train(model, device, train_loader, optimizer, epoch):
    model.train()
    total = 0
    for batch_idx, (data, target) in enumerate(train_loader):
        # 获取实际值，可以简单理解：data -> x  target -> y
        data, target = data.to(device), target.to(device)
        optimizer.zero_grad() # 梯度清零
        output = model(data) # 获得预测值
        loss = F.nll_loss(output, target) # 计算 loss
        loss.backward() # loss 反向传播
        optimizer.step() # 更新参数

        # 训练进度统计
        total += len(data) # 目前训练图片数
        progress = math.ceil(batch_idx / len(train_loader) * 50)
        print("\rTrain epoch %d: %d/%d, [%-51s] %d%%" %
              (epoch, total, len(train_loader.dataset),
               '-' * progress + '>', progress * 2), end='')

def test(model, device, test_loader):
    model.eval()
    test_loss = 0
    correct = 0
    with torch.no_grad():
        for data, target in test_loader:
            # 获取实际值
            data, target = data.to(device), target.to(device)
            # 获取预测值
            output = model(data)
            # 计算 loss
            test_loss += F.nll_loss(output, target, reduction='sum').item()  # sum up batch loss
            pred = output.argmax(dim=1, keepdim=True)  # get the index of the max log-probability
            correct += pred.eq(target.view_as(pred)).sum().item()

    test_loss /= len(test_loader.dataset)

    print('\nTest: average loss: {:.4f}, accuracy: {}/{} ({:.0f}%)'.format(
        test_loss, correct, len(test_loader.dataset),
        100. * correct / len(test_loader.dataset)))

def main():
    epochs = 2 # 训练总轮数
    batch_size = 64
    torch.manual_seed(0)

    device = torch.device("cuda" if torch.cuda.is_available() else "cpu")

    train_loader = torch.utils.data.DataLoader(
        datasets.MNIST('../data/MNIST', train=True, download=False,
                       transform=transforms.Compose([
                           transforms.ToTensor(),
                           transforms.Normalize((0.1307,), (0.3081,))
                       ])),
        batch_size=batch_size, shuffle=True)
    test_loader = torch.utils.data.DataLoader(
        datasets.MNIST('../data/MNIST', train=False, download=False, transform=transforms.Compose([
            transforms.ToTensor(),
            transforms.Normalize((0.1307,), (0.3081,))
        ])),
        batch_size=1000, shuffle=True)

    model = Net().to(device)
    optimizer = torch.optim.SGD(model.parameters(), lr=0.025, momentum=0.9)

    for epoch in range(1, epochs + 1):
        train(model, device, train_loader, optimizer, epoch)
        test(model, device, test_loader)

#     torch.save(model.state_dict(), "mnist_cnn.pt")
main()

结果：

至此基于 Pytorch 的网络训练与评估就讲解完毕了，不知道你有没有理解呢？