数字预失真技术的数学建模与物理实现

DPD是数字预失真的首字母缩写，许多射频(RF)、信号处理和嵌入式软件开发工程师都熟悉这一术语。对于DPD，从纯粹数学角度出发的建模，到微处理器实际实现面临的限制，许多工程师都有自己独特的见解。作为负责评估RF基站产品中DPD性能的工程师，或者是一名算法工程师，可能都会想知道数学建模技术以及在实际系统中的实现方式。如今，DPD在蜂窝通信系统中随处可见，使功率放大器(PA)能够有效地为天线提供最大功率。5G基站中的天线数量增加，频谱变得更加拥挤，DPD开始成为一项关键技术，支持开发经济高效且符合规格要求的蜂窝系统。

什么是DPD？为什么要使用DPD？

当基站射频装置输出RF信号时（参见图1），需要先将其放大，然后通过天线发射出去。放大是通过RF PA来实现的。在理想情况下，PA接收输入信号，然后输出与其输入成正比的更高功率信号。PA效率应尽可能高，将放大器的大部分功耗都转化为信号输出功率。

图1：采用和未采用DPD技术的简化射频结构框图。

但理想并非实际。PA由晶体管构成，晶体管是有源器件，本身具有非线性。如图2所示，如果PA工作在“线性”（相对而言）区域，则输出功率与输入功率相对成比例。但缺点是PA效率很低，大部分功耗都会作为热量流失。故希望PA工作在压缩初始区。这意味着， PA输出不会随着输入信号等比例增加，即此时输出信号会严重失真。

图2：PA输出功率与输入功率之间的关系图（显示了输出/输入信号的投影）。

这种失真发生在频域中的已知位置，具体取决于输入信号。图3显示了这些位置，以及基频与这些失真产物之间的关系。在RF系统中，只需要对基波信号附近的失真进行补偿，这些信号是奇阶交调产物。系统滤波处理带外产物（谐波和偶阶交调产物）。图4显示RF PA的压缩点附近的输出。交调产物（特别是三阶）清晰可见，就像是围绕着目标信号的“裙摆”。

图3：双音输入交调和谐波失真的位置。

图4：2× 20 MHz信号通过SKY66391-12 RF PA，中心频率为1850 MHz。

DPD旨在通过观察PA输出来表征这种失真，要了解所需输出信号，随之更改输入信号，使得PA输出接近理想值。只有在相当具体的情况下才能有效地实现这一目标。需要配置放大器和输入信号，使放大器有一定程度的压缩但未完全饱和。

PA失真建模背后的数学计算

在“射频功率放大器数字预失真的广义记忆多项式模型”一文中，开创性地介绍了针对DPD广泛使用的广义记忆多项式(GMP)方法。为了简化，先尝试拆解一下GMP方法，以更直观地理解数学原理。

Volterra级数是DPD的重要数学基础，它用于建立具有记忆的非线性系统模型。记忆仅仅意味着系统的当前输出取决于当前和过去的输入。Volterra级数很常用（所以功能强大），对于PA DPD，该级数可以精简使用，使其在实时数字系统中更易实现，也更稳定。

图5显示如何使用GMP对PA的输入x和输出y之间的关系进行建模。可以看到，该等式的三个单独的求和块彼此都非常相似。先来看看下方用红色圈出来的第一个。|x(…)|k项是指输入信号的包络，其中k是多项式阶。l将记忆集成到系统中。如果La={0,1,2}，那么该模型允许输出yGMP(n)由当前的输入x(n)和过去输入x(n – 1)和x(n – 2)决定。图6分析多项式阶k对样本向量的影响。向量x是单个20 MHz载波，在复基带上表示出来。去除记忆部分，以简化GMP建模等式。x|x|k图显示的失真与图4中的实际失真非常相似。

每个多项式阶(k)和记忆延迟(l)都有相关的复值权重(akl)。在选择模型的复杂程度之后（其中包括k和l的值），需要根据已知输入信号的PA输出实际观测值来求解这些权重。图7将简化的等式转换为矩阵形式。可以使用数学符号简明表示该模型。但是，要在数字数据缓冲区实现DPD，用矩阵表示法会更简单，也更具代表性。

来看看图6中等式的第二行和第三行，为了简化，这两行被忽略了。注意，如果m设置为0，那么这两行会变得与第一行一模一样。这些行允许在包络项和复基带信号之间增加延迟（正延迟和负延迟）。这些称为滞后交叉和超前交叉项，可以显著提高DPD的建模精度。在尝试对放大器的行为建模时，这些项提供了额外的自由度。注意，Mb、Mc、Kb和Kc不包含0；否则，会重复第一行的项。

图5：用于PA失真建模的GMP。

图6：在信号x的频域中，阶(k)对信号的影响曲线图。

图7：将简化的等式转换为数据缓冲区的矩阵运算（更接近于数字实现方式）。

那么，如何确定模型的阶、记忆项的数量，以及应该添加哪些交叉项？此时，就需要一定数量的“黑魔法”了。此时，有关失真的物理学知识能够提供一定帮助。放大器的类型、制造材料，以及通过放大器的信号带宽都会影响建模项，可以帮助熟悉该领域的工程师确定应该使用哪个模型。但是，除此之外，还涉及一定程度的反复试验。

有了模型架构，从数学角度来解决该问题的最后一个方面是如何求解权重系数。在实际场景中，人们倾向于求解上述模型的倒数。事实证明，这些模型系数能够彼此互惠，可以使用相同的权重对捕捉到的PA输出向量进行后失真，以消除非线性，并对通过PA发送的发射信号预失真，使得PA输出尽可能呈现线性。在图8所示的框图中，显示了如何对权重系数进行估算和预失真。

图8：建模和预失真间接实现框图。

在逆模型中，将图7给出的矩阵等式互换，给出X̂= Yw。其中，矩阵Y的构成方式与其他示例中X的构成方式相同，如图9所示。在本例中，包含了一个记忆项，且减少了包含的多项式的阶数。为了求解w，我们需要得出Y的倒数。Y不是方形的（是一个瘦长矩阵），所以需要使用“伪逆”矩阵进行求解（参见等式1）。这是从最小二乘意义上求解w，最小化了X̂和Yw之间的差的平方！

鉴于是在具有不同信号的真实环境中使用，可以对其进一步优化。在这里，系数是基于之前的值进行更新，因此受到限制。μ是0和1之间的常数值，用于控制每次迭代时权重的变化量。如果μ= 1，w0=0，那么此等式立即恢复到基本最小二乘解。如果将μ设为小于1的值，则需要多次迭代才能使系数收敛。

注意，这里描述的建模和估算技术并非是执行DPD的唯一方式。也可以使用其他技术，例如基于动态偏差减少的建模来代替或作为附加方法使用。上述用于求解系数的估算技术具有多种实现方式。鉴于篇幅，此处不再赘述。

如何在微处理器中实现这一技术？

前面介绍了相关数学知识。下一个问题是如何在实际通信系统中实现？在数字基带中，一般在微处理器或FPGA中实现。目前，ADI的RadioVerse®收发器产品（例如ADRV902x系列）内置微处理器内核，已经集成了这类算法，其结构有助于轻松实现DPD。不仅提供了高度集成的RF硬件，还为客户提供可配置的软件工具。

在嵌入式软件中实现DPD涉及两个方面。一是DPD执行器，对实时发送的数据执行实时预失真，二是DPD自适应引擎，基于观察到的PA输出来更新DPD系数。

对于如何在微处理器或类似器件中实时执行DPD和许多其他信号处理概念，关键在于使用查找表(LUT)。LUT允许用更简单的矩阵索引操作来代替成本高昂的实时计算。来看看DPD执行器如何对发送的数据样本进行预失真。代表符号如图8所示，其中u(n)表示要传输的新数据样本，x(n)表示预失真版本。图10显示在给定场景下，获取一个预失真样本所需的计算。这是一个相对受限的示例，最高多项式阶为三阶，只有一次记忆选取和一个交叉项。即使在这种情况下，要获取这样一个数据样本，也需要进行大量乘法、幂运算和加法运算。

在这种情况下，使用LUT可以减轻实时计算负担。可以将图10所示的等式改写成图11所示的样式，其中输入LUT的数据会变得更加明显。每个LUT都包含等式中突出显示项的结果值，它们对应|u(n)|的多个可能值。分辨率取决于在可用硬件中实现的LUT大小。当前输入样本的幅度大小基于LUT的分辨率进行量化，可以作为索引，用于访问给定输入的正确LUT元素。

图9：以矩阵形式表示的逆算法等式，有些记忆包含在其中。

图10：具有一次记忆选择和一个三阶交叉项元素的三阶预失真计算案例。

图11：对等式项重新分组，以显示LUT的结构。

图12显示如何将LUT集成到示例案例的完全预失真执行器实现方案。注意，这只是其中一种可能的实现方法。在保持相同输出的情况下，可以做出更改，例如：可以将延迟元素z–1移动到LUT2右侧。

图12：使用LUT可能实现DPD的框图。

自适应引擎负责求解用于计算执行器中的LUT值的系数。这涉及到求解等式1和2中描述的w向量。伪逆矩阵运算(YHY)-1YH会耗费大量计算资源。等式1可以改写为

如果CYY=YHY，CYx=YHx，等式3会变成

CYY是矩形矩阵，可以通过柯列斯基分解方法分解为上三角矩阵L和共轭转置矩阵(CYY=LHL)的乘积。这样我们可以通过引入一个虚拟变量z来求解w，求解方法如下：

然后，重新代入这个虚拟变量，求解

因为L和LH分别是上、下三角矩阵，所以花费很少的计算资源，就可以求解等式5和等式6，得出w。自适应引擎每次运行，得出w的新值时，都需要更新执行器LUT来体现这一点。根据观察到的PA输出，或者操作员掌握的待传输信号的变化情况，自适应引擎可以按照设定的定期间隔或不规则的间隔执行操作。

在嵌入式系统中实现DPD需要进行大量检查和平衡，以确保系统的稳定性。最重要的是，发送数据缓冲器和捕捉缓冲器数据的时间要一致，以确保它们之间建立的数学关系是正确的，且在长时间之后仍然保持正确。如果这种一致性丧失，那么自适应引擎返回的系数将不能对系统执行正确的预失真，可能导致系统不稳定。还应检查预失真执行器输出，确保信号不会使DAC饱和。

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