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来源:中科院半导体所发布时间:2023-03-081326浏览
询问 AI
作者：张远南 张昶
给你一本书，你能用普通的刻度尺，量出一张纸的厚度吗?答案是肯定的！我想读者都已经想到了到了。谜底是，量出全书的厚度（如果书很薄，可以把相同的书叠几本！)，然后除以全书纸的张数，即得每张纸的厚度。以《辞海》缩印本（1980年8月版）为例，该书除封面外厚60毫米，全书共2256页，计1128张纸，那么每张纸厚约x=60/1128=0.0532（毫米）
例如，为了测出细漆包线的直径大小，可以采用绕线的办法，在一根铅笔上，紧密地绕上n圈，测量出这n圈漆包线在铅笔上所占位置的长L，则该漆包线的直径d，显然应该满足
然而，尽管很多人都懂得应该这样去做，但并不一定所有的人都知道这样做的科学原理。仍以测量《辞海》的书页为例，实际上我们很难找到书中哪一页纸的厚度恰好等于0.0532毫米，所有1128张纸都有它们各自的厚度（单位：毫米）a1，a2，a3，…，a1128只是这1128个数的总和是一个常量，即
而0.0532毫米，则是这1128个数的平均值。现在需要证明的是：对于量x的n个观测值a1，a2，…，an，它们的平均值
是所要测定的量x的最理想取值。式中求和符号表示从1累加到n。事实上，最理想的取值x，应当使它与n个观察值的差的总和为最小。但考虑到差(x-ai)(i=1，2，…，n)可能有正有负，如果直接把它们相加，势必使某些差的值相抵消，影响了偏离的真实性，这显然是不合理的。于是，人们想到了用(x-ai)的2次方来替代相应的差。这样一来，最理想的取值x应当使函数
取极小值。这是关于x的二次函数，易知当时y取极小。这就是为什么平均值可以看成是观测量最理想取值的道理。
同样的原理可以用于二维的情形，只是计算稍微复杂一些，我们将要得到的结果在数学上非常有名，叫作最小二乘法。它是德国数学家高斯于1795年创立的，那时他年仅18岁！现在假定我们观察到n个经验点：
(xi,yi)，(x2,y2)，…，(xn,yn)如果我们认定这n个经验点Mi（i=1，2，…，n）是对直线y=Ax+B上的点在观测时的误差。那么，这些经验点Mi（xi，yi）与直线上相应点N（xi，Axi+B）之间的以下量
应当取极小值。“最小二乘法”的名称，大约就是由此而来！
时取极小值。整理得
同理，函数y又可以写成B的二次函数，而当这一函数取极小值时，又得
这样，由线性方程组
便可以确定参数A、B的值。从而得到一条最逼近n个经验点Mi(i=1，2，…，n)的直线y=Ax+B最小二乘法在科学上有许多妙用。下面是一个实例，数学工具帮助历史学家解开了一个千古之谜！传说古日本有一个邪马台国。239年，邪马台国女王卑弥呼曾经派遣使臣前往当时魏国的京都洛阳，向魏明帝（曹操的孙子）进贡物品。魏明帝赐卑弥呼为“亲魏倭王”，并赏给黄金、丝绸等大批物资。这个历史事件，在经历了近两千年的漫长岁月后，在人们的记忆中渐渐淡薄，连邪马台国位于日本岛的何方也成了不解之谜！东京大学有位历史学教授平山朝治，不仅精通历史，而且擅长数学。一天，平山教授正专心翻阅中国古籍史书《三国志》，突然一篇《魏志·倭》落入他的视野。文中记述了当时魏国使者前往倭国的实际行程。平山对邪马台国的奥秘发生了浓厚的兴趣。他把文章细读了一遍，见文中写道：“从郡至倭，循海岸水行，历韩国，乍东乍南，到其北岸狗邪韩国，七千余里，始渡一海，千余里至对马国。……又南渡一海千余里，……至一大国，……又渡一海，千余里至末卢国，……东南陆行五百里，到伊都国，……东南至奴国百里，……东行至不弥国百里，……南至投马国，水行二十日，……南至邪马壹国，女王之所都，……可七万余户。”然而，当平山先生读完全文时，原先热乎乎的心，凉了半截！原来《魏志·倭》中的“里”，是个谜中之谜！这种怀疑不能说没有道理。古代的长度单位显然是不同于今的。就好像《三国演义》里描写刘备身高7.5尺，张飞身高8尺，关云长身高9尺。按现在换算，他们的高度堪称世界之最.......又如《水浒》中矮得出奇的武大，书中写他身高5尺，这在现在已是中等个儿，所以文中的“里”就更值得打个问号了！
编辑：张润昕
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