浅谈平方关系

原文作者：克里斯·怀特

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作者：克里斯·怀特

译者：

王磊，中科院理论物理研究所18级博士研究生。

殷一雄，中科院理论物理研究所19级博士研究生。

导师为杨刚研究员。

研究方向是量子场论与散射振幅。

译者在征得克里斯·怀特的同意以后，翻译了他的一篇论文[1]。由于原文篇幅长，译者做了一些删减和整合。

1、导言

我们对大自然的理解是基于基本粒子以及它们之间的相互作用，目前我们已知有四种基本作用力：电磁力、弱力、强力及引力。前三种我们都可以用粒子物理标准模型去描述，而描述引力的理论一般是广义相对论。然而，广义相对论在描述诸如黑洞或者大爆炸的奇点处时会失效，此时量子引力效应会变得极为重要。因此，数十年来人们艰难地尝试将引力量子化，试图找到一种精确且完备的理论去描述在微观尺度下引力的表现。

过去几十年的研究发现了一种有趣的方式来理解引力：引力理论中的物理量是规范理论的平方，这被称为平方关系（double copy），这种关系最早在散射振幅的研究中被发现。进一步研究发现，广义相对论中的其他物理量也可以通过“平方”电磁学中对应的物理量得到。尽管电磁场和引力的类比在历史上已经出现了多次，这种平方关系提供了一种非常系统且精确的方法，让我们可以从电磁学或者凝聚态系统构造出引力的物理量。此外，这种引力和规范场的平方关系仅仅是这类平方关系中的一种特例。一般地，平方关系构造出了一个十分复杂的关系网，该关系网将一些物理理论和另一些非物理理论联系到一起，见图1 (这里参考了文献[24]的图17。)。这同时也表明对量子场论的传统思考忽视了某些重要的底层结构。

图 1：各类理论之间的关系网。其中有向线段连接的两个理论之间规范要素不同；无向线段连接的则相同。（注：DBI代表狄拉克-玻恩-因费尔得理论；NLSM代表非线性模型。）

近些年不同领域的学者都开始关注这个新兴的研究课题，通过从其他领域引入成熟的思想和技术，很可能产生新颖而有深远影响的研究见解。为给平方关系的讨论提供一些铺垫，我们先简单地回顾一下规范理论和引力理论。

2、规范理论与引力理论

为了解释平方关系，我们需要简单介绍一下理论物理学的两个重要理论：规范理论与引力理论（广义相对论）。规范理论中以麦克斯韦理论和杨-米尔斯理论为主要代表，引力理论这里主要介绍爱因斯坦引力理论。

规范理论即满足规范不变性的物理理论，我们熟知的电磁场，以及高能物理中的强、弱相互作用场都是规范场论研究的对象。电磁场是最简单的规范场，其规范变换所对应的规范群是简单的群；而弱相互作用以及强相互作用则是更复杂的、，它们带来的物理效应是强/弱相互作用场存在“自作用”——电磁场没有这一性质：电磁场必须要借助物质场-规范场耦合才能发生相互作用，而强/弱相互作用场可以不借助物质场就能发生相互作用。用相对严谨的语言表述是：电磁场的量子——光子——必须通过耦合电子才能实现相互作用；而强相互作用场的量子——胶子——可以直接通过耦合胶子来实现相互作用（弱相互作用场类似，只不过相应的量子是带有质量的粒子，我们称之为、玻色子）。

下面简述广义相对论。广义相对论认为，引力的本质是时空的弯曲。而时空弯曲又源于物质场。爱因斯坦据此建立了著名的“爱因斯坦场方程”。为了更形象地解释这一思想，我们打个并不是很准确的比方：将苹果的表面比作弯曲时空，将苹果上的小虫子比作时空里的粒子。假设虫子始终不离开苹果，那么虫子在苹果上的运动轨迹只能是曲线。这种曲线轨迹带来的效应就是虫子一直认为自己被一种奇怪的力左右了自己的运动，但实际上却没有任何力。

在数学上，描述时空弯曲的基本量叫“度规张量”，它可以给出决定时空弯曲程度的重要变量——黎曼曲率张量，只要黎曼曲率张量为0，那么时空就是平直时空（闵可夫斯基时空），广义相对论可以自然退化为狭义相对论。在微扰引力论中，对弯曲时空的度规我们用平直时空的度规做近似，而物质场对时空的弯曲看成一个微扰相加项，将这个度规代入爱因斯坦场方程，按耦合常数逐阶展开，越高阶的修正越接近于真正的度规张量（这与规范场中的微扰方法是类似的）。

在广义相对论中，度规张量可以做任意的坐标变换，这就相当于有无穷多个坐标系可供选择，意味着我们可以对同一个物理系统用不同的度规张量去描述。坐标变换能诱导出引力场的规范变换，这就意味着引力场也是一种规范场。在微扰引力论中，引力场的规范可以选取为横向-无迹规范，此时真空爱因斯坦方程变成了一个波动方程，其解正是LIGO探测到的引力波（下面方程中我们设定真空光速为1），这里是一个极化张量，进一步研究会发现引力波具有两个极化态。类似于光子，引力波也有量子，即引力子。

3、散射振幅和平方关系

有了前面的铺垫我们来讨论散射振幅的平方关系。2008年，Bern、Carrasco和Johansson(BCJ)三人提出了最大超对称规范场论和超引力之间平方关系[2,3,4]。为此，我们先简单介绍一下散射振幅的概念。

量子场论在实际中的应用一般是散射实验。在粒子加速器里，两个入射粒子对撞后产生多个末态粒子，这些粒子可以被探测器捕获到，由此实验上我们可以得到不同散射过程发生的概率。在量子理论中，这个概率我们可以通过计算散射振幅（取模平方）得到。

传统计算散射振幅的方法是利用费曼图和费曼规则。但这个思路有很大瓶颈：因为费曼图的个数会随着外线数量以及圈数的增加而呈现爆炸式增加。此外，费曼图给出的规范场振幅和引力场振幅形式上看起来相差甚远。例如三胶子顶角的费曼规则只有六项，而三引力子顶角的费曼规则却超过170项。有趣的是，当我们对振幅的最终结果进行化简后，发现它们具有相似的结构，这里的和分别为规范振幅和引力振幅。其中，代表运动学因子，携带了粒子动量和极化矢量的所有信息；代表色因子，携带了规范场色相关的信息。

我们看到，规范理论的振幅正比于色因子和运动学因子的乘积。在2008年，BCJ发现存在一类特殊运动学因子的选取[2]，其与色因子满足相似的雅可比恒等式。这个发现揭示了散射振幅中必定存在运动学因子的隐藏对称性，这种色因子和运动学因子之间的相似性被称为色因子/运动学因子对偶，或BCJ对偶。而引力振幅，可以写成正比于两套满足BCJ对偶的运动学因子和的乘积的形式，这个惊人的关系就是平方关系[3,4]。目前，人们尚不清楚这种对偶关系的本质是什么。

我们在上述讨论中，并没有明确这些振幅来自于哪种规范理论和引力理论。实际上当我们把不同规范理论的运动学因子和组合在一起，就得到了不同理论的引力振幅（区别于广义相对论）。

下面我们来简单总结一下：在规范理论和引力理论中的散射振幅是通过替换对应起来的，即把规范场散射振幅中带有色荷信息的部分可以替换成带有运动学信息（动量、极化矢量）的部分从而得到引力理论的散射振幅。对于场本身而言，这表现为将色因子替换为运动学因子。近些年来，越来越多的证据表明很多有趣的理论可以通过平方关系联系起来[5]。

我们可以大胆地猜测平方关系将带来量子场论的一次革命，因为它预示着不同领域物理之间存在着深层次的联系。然而有一个问题我们还没有回答：这仅仅是散射振幅里的偶然结果，还是普遍存在于任何理论里的结果？一种研究方案是去考虑每种理论中其他的物理量之间是否依然有类似的对偶关系。一个自然的出发点就是考虑精确的经典解。

4、经典平方关系

在经典物理学里，最简单的情况可能就是平面波。我们在规范理论和引力论里已经遇到了平面波解。我们知道，光子/胶子都有两个极化矢量，，类似地，引力子也有两个极化张量。我们可以选择合适的极化张量，如请注意，等式(4.1)中采用了极化矢量的特定组合，但还有两种其他选择，即这里第一个组合被称为轴子，第二个被称为膨胀子，因此杨-米尔斯理论的平方关系给出的引力理论并不是广义相对论，而是含有这两个额外场的标量引力论。

下面我们来考虑经典物理精确解问题。参考文献[6]考虑了广义相对论中所谓克尔-席尔德解的无限族，由此讨论经典平方关系。在克尔-席尔德解里，引力波具有如下特殊形式，其中是标量场，四维矢量满足根据等式(4.3)，我们很容易猜出其对应的规范场有趣的是，克尔-席尔德平方关系只涉及纯引力解，并不涉及任何轴子和膨胀子。其原因十分简单：式(4.3)里的场是指标对称的，也是无迹的——这是由于的约束。因此，它只对应于引力子，任何涉及的规范场乘积都不能生成轴子（反对称）或膨胀子（迹非零）。

克尔-席尔德平方关系看起来可能很抽象，但事实上它包含了一些物理学上已知的、最著名的案例。我们举一个例子：施瓦西黑洞。它描述的是位于原点处的、质量为的质点所激发出来的静态球对称引力场。其克尔-席尔德标量场和向量为其中，是球面半径，是径向三维单位向量。这样规范场为这里我们在右侧采用了规范变换，详细过程可见文献[6]。回顾规范场的第零个分量是静电势，我们认为等式(4.7)是点电荷的规范场。因此，平方关系将原点处的简单点电荷与引力中的点质量联系起来。

此外，还有一些例子，它们是：磁单极子[7]，加速粒子[8]，电磁涡流[9]，二维解[10]等。然而，可以放入克尔-席尔德解族的案例仍然是较为特殊的，因此需要进一步扩展经典平方关系的适用范围。为此，一种称为外尔平方关系被提出[11]，该方案与场论的旋量理论有关（这一理论可见参考文献[12,13]）。相较于克尔-席尔德平方关系，该方案的适用性更为普遍[14,15,16]，相关研究也取得了进展[17]。克尔-席尔德方法的另一个缺陷是，它高度依赖于规范理论的规范选取（或者说，依赖于引力理论的坐标系选取）。原则上可以在任意规范下去考虑平方关系，相关工作见文献[18-23]。

5、展望

目前还不知道是否可以对平方关系做出一个适用于经典和量子的、精确的陈述。为了推广这一想法，文献[25-28]研究了一种叫“双伴随理论”的非线性解。如果放弃了微扰论中的精确陈述和逐阶计算思路，那么现在有许多不同的方法来计算广义相对论中的经典可观测量，可见文献[24]。由于引力波的应用，这引起了全世界的强烈兴趣。LIGO实验观察到的一个典型引力波信号来自于两个天体（如黑洞或中子星）的并合过程，该过程可以分为三个阶段：（1）旋近阶段，在这一阶段，物体之间的轨道逐渐靠近；（2）并合阶段，这一阶段两个天体并合为一个更大的天体；（3）自转减缓阶段，在这一阶段中，并和后的天体会减缓自转摇摆并稳定下来。到目前为止，平方关系已经应用于第一阶段，并且可能用于第三阶段。第二阶段的研究需要复杂的数值模拟工作，但如果可以对其他两个阶段的研究做进一步改进，则可以降低在第二阶段上的投入。

平方关系作为研究引力理论的一种新思路，目前吸引了国内外高能物理学专家的极大兴趣，有理由相信这个新生的、正在蓬勃发展的领域在日后会有更多更有趣的研究成果出现。

参考文献（滑动查看）

[1] Chris D. White, ”The double copy: from optics to quantum gravity”, arXiv:2105.06809 (2021).

[2] Z. Bern, J. Carrasco, and H. Johansson, “New Relations for Gauge-Theory Amplitudes, Phys.Rev. D78, 085011 (2008).

[3] Z. Bern, J. J. M. Carrasco, and H. Johansson, “Perturbative Quantum Gravity as a Double Copy

of Gauge Theory,” Phys.Rev.Lett. 105, 061602 (2010)

[4] Z. Bern, T. Dennen, Y.-t. Huang, and M. Kiermaier, “Gravity as the Square of Gauge Theory,” Phys.Rev. D82, 065003 (2010).

[5] Z. Bern, J. J. Carrasco, M. Chiodaroli, H. Johansson, and R. Roiban, “The Duality Between Color and Kinematics and its Applications,” arXiv:1909.01358 (2019).

[6] R. Monteiro, D. O’Connell, and C. D. White, “Black holes and the double copy,” JHEP 1412, 056 (2014).

[7] A. Luna, R. Monteiro, D. O’Connell, and C. D. White,“The classical double copy for Taub-NUT spacetime,” Phys. Lett. B750, 272–277 (2015).

[8] A. Luna, R. Monteiro, I. Nicholson, D. O’Connell, and C. D. White, “The double copy: Bremsstrahlung and accelerating black holes,” JHEP 06, 023 (2016).

[9] A. Ilderton, “Screw-symmetric gravitational waves: a double copy of the vortex,”Phys. Lett. B782, 22–27 (2018)

[10] M. Carrillo González, B. Melcher, K. Ratliff, S. Watson, and C. D. White, “The classical double copy in three spacetime dimensions,” JHEP 07, 167 (2019).

[11] A. Luna, R. Monteiro, I. Nicholson, and D. O’Connell,“Type D Spacetimes and the Weyl Double Copy,”Class. Quant. Grav. 36, 065003 (2019).

[12] R. Penrose and W. Rindler, Spinors and Space-Time, Cambridge Monographs on Mathematical Physics (Cambridge Univ. Press, Cambridge, UK, 2011).

[13] R. Penrose and W. Rindler, SPINORS AND SPACE-TIME. VOL. 2: SPINOR AND TWISTOR METHODS IN SPACE-TIME GEOMETRY, Cambridge Monographs on Mathematical Physics (Cambridge University Press, 1988).

[14] H. Godazgar, M. Godazgar, R. Monteiro, D. P. Veiga, and C. N. Pope, “Weyl Double Copy for Gravitational Waves,” Phys. Rev. Lett. 126, 101103 (2021).

[15] C. D. White,“Twistorial Foundation for the Classical Double Copy,” Phys. Rev. Lett. 126, 061602(2021).

[16] E. Chacón, S. Nagy, and C. D. White, “The Weyl double copy from twistor space,” arXiv:2103.16441 (2021).

[17] R. Alawadhi, D. S. Berman, and B. Spence, “Weyl doubling,” JHEP 09, 127 (2020).

[18] A. Anastasiou, L. Borsten, M. J. Duff, L. J. Hughes, and S. Nagy, “Yang-Mills origin of gravitational symmetries,” Phys. Rev. Lett. 113, 231606 (2014).

[19] A. Anastasiou, L. Borsten, M. J. Duff, S. Nagy, and M. Zoccali, “Gravity as Gauge Theory Squared: A Ghost Story,” Phys. Rev. Lett. 121, 211601 (2018)

[20] L. Borsten and S. Nagy, “The pure BRST Einstein-Hilbert Lagrangian from the double-copy to cubic order,”

JHEP 07, 093 (2020).

[21] L. Borsten, B. Jurčo, H. Kim, T. Macrelli, C. Saemann, and M. Wolf, “BRST-Lagrangian Double Copy of Yang-Mills Theory,” Phys. Rev. Lett. 126, 191601 (2021).

[22] L. Borsten, H. Kim, B. Jurco, T. Macrelli, C. Saemann, and M. Wolf, “Double Copy from Homotopy Algebras,”arXiv:2102.11390 (2021).

[23] M. Campiglia and S. Nagy, “A double copy for asymptotic symmetries in the self-dual sector,” JHEP 03, 262 (2021).

[24] Z. Bern, J. J. Carrasco, M. Chiodaroli, H. Johansson, and R. Roiban, “The Duality Between Color and Kinematics and its Applications,” arXiv:1909.01358 (2019)

[25] C. D. White, “Exact solutions for the biadjoint scalar field,”Phys. Lett. B763, 365–369 (2016).

[26] P.-J. De Smet and C. D. White, “Extended solutions for the biadjoint scalar field,”Phys. Lett. B775, 163–167 (2017)

[27] N. Bahjat-Abbas, R. Stark-Muchão, and C. D. White, “Biadjoint wires,”Phys. Lett. B788, 274–279 (2019)

[28] N. Bahjat-Abbas, R. Stark-Muchão, and C. D. White, “Monopoles, shockwaves and the classical double copy,”JHEP 04, 102 (2020)

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