降落伞与火箭弹的运动竟是一回事？

来源:中科院半导体所发布时间:2022-11-131652浏览

文章来源：中科院物理所原文作者：曹则贤

弹道学和弹体的动力学行为是武器设计与应用中的重要考量，涉及质点运动学和刚体动力学。动量守恒和(机械) 能量守恒是动力学过程必须同时遵守的基本规律。描述物体的运动要同时考虑速度、动量和动能这三个物理量，动能武器的巨大动能实际上来自高速度。武器发射多依靠动量守恒定律所规定的反冲运动，火箭方程描述持续推进过程。刚体动力学中的物理量多是张量，发动机、陀螺仪和飞行器物等各种涉及转动的设备都要依靠刚体动力学加以理解。

落体运动与弹道

根据位移、速度、加速度是矢量的性质，容易得出抛体自由运动的规律。将一个物体以速度抛出去，暂时忽略空气阻力，则其运动由两部分构成：在重力场中的自由下落和以恒定速度的惯性运动。前者带来的位移(矢量)为，后者带来的位移(矢量)为，故而相对于抛出点，抛体的位移(矢量)为

其图像为关于时间t的抛物线。此处是重力加速度，垂直向下, 其值~。若初始速度同水平面的夹角为，初速度可以看作是水平分量和垂直分量之合 (合成，即矢量加法)，则位移可以表示为

其中前两项为垂直方向的运动 (先向上，后转而向下)，最后一项描述抛体飞出去的水平距离，简单地同时间成正比。由此可见，水平方向上能飞出去多远(射程)，正比于垂直方向上直到落地那一刻能赢得多少时间。这个公式是真空中抛体运动的公式，是弹道学 (ballistics)的基础。实际上，对于加速度指向任何方向的匀加速运动，位移(矢量)都可以用公式

简单地加以表示。

抛体的自由运动轨迹

实际情形中，抛体在大气的飞行还会遭遇来自大气的阻力，阻力总是同瞬时速度方向相反, 故抛体的运动方程可写为

方程右边最后一项描述大气的阻力，系数和指数依赖于抛体的几何和大气密度，一般会取。其实，由于大气密度随气象条件、高度等因素变化 (空气的密度在海面上和高原上差别巨大), 上面这个公式只具有不多的指导性意义。一个抛体的实际弹着点会受多种因素影响，实战过程中如何让弹着点落在预定目标上需要借助一个修正的过程。由于一般来说炮弹的初始速度(膛速)大小是一定的，因此可调节的是炮口的仰角和炮管的方位角。根据当前弹着点同目标的关系，调整出膛炮弹的方向。在过去，这个过程靠人观察弹着点, 凭经验调整炮弹的方向。

宋代的《守城录》就有如何调整砲(抛石机)落点的描述，其做法就是试射、调整，“三两砲间便可中物”，这也算是高手了。今天，对于类似火箭炮远程打击的校准问题，借助无人机、侦察卫星等提供的数据，弹着点可由计算机自动修正。至此，大家也就明白了为什么会有专门的炮校、炮校有专门的炮兵指挥专业了。随着先进无人机的大量使用，如今火炮、导弹多采用无人机校射。实际上，由于在空气中不同条件下弹体飞行路径具有极大的不确定性，高射炮弹、穿甲弹等还会使用曳光弹。发光的炮弹自动指示其飞行径迹，以利操作者凭经验、目视即刻修正射击诸元。反炮兵雷达根据炮弹的轨迹计算炮阵地的位置，算是弹道计算的逆问题。

来自同环境介质之间相对运动所造成的阻力如影随形。因为阻力的不期而至，如何保持住速度不是一件容易的事儿。为了减少介质阻力对抛射体的减速效果，低阻力弹采用了特殊的弹体几何。低阻力弹主要有枣核弹和底凹弹。枣核弹把弹体做得细长，底凹弹则是使重心前移或增大长细比来改变弹形系数，以达到减小飞行阻力的目的。介质阻力是武器科学中格外值得关注的因素，既要克服，也可以善加利用，比如降落伞(减速伞)等。

物体，假定其是刚体，在流体中的运动，比如炮弹在空气中的运动，鱼雷在水中的运动，是一种特殊的相互作用。流体受到扰动被激发起来，在相对速度够高时甚至会产生激波；与此同时，物体的运动也遭遇了阻碍。介质阻力的特点是它的大小与方向依赖于速度，是瞬变的。与此相对，重力场是一直在的，方向和大小几乎是恒定的。此处我们只关注运动固体遭遇流体阻力 (fluid drag)的情形中最简单的那种。

考察物体在流体中的自由下落。设向下的方向为正，运动方程(与前不同此处只需要考虑速率)为

显然，解的形式取决于指数n。如果愿意简化，可以认为流体阻力同落体的迎面面积(projected area, silhouette )成正比，故而可将面积因素突出出来，方程变为

此处的迎面面积A 应是在运动方向上的轮廓剪影的面积。具体的情形很复杂，但有一点是肯定的，物体运动的过程是一个逐步加速直到速度达到最大值而后变为匀速运动的过程，最大速度为。这个自由下落能达到的最大速度，英文中称为terminal velocity, settling velocity，可译为终极速率 (因为无需强调方向)。当然这是简化的图像。就降落伞的使用而言，实际过程中空气是越往下密度越大的，跳伞者还会调节伞的有效面积来调节空气阻力。但不管怎样，降落伞的发明依然是基于一个基本的认识：阻力足以把下落速度稳定在一个可接受的数值上。人员跳伞的落地速度一般会控制在左右。关于降落伞的讨论，一般也是取 n=2。

对于在流体中的情形，运动物体遭遇的阻力非常明显，有特别的名称—拖曳力(drag force)，

其中明确了流体密度的作用，A是运动物体的迎面面积，是拖曳系数(drag coefficient)。其实这样的公式也是勉强的，流体阻力并不是正比于(此公式中的1/2是为了就合基于的后继计算方便)，而拖曳系数，对于上述n=2 的情形是无量纲的，则是把一些不便考虑的因素笼统地打包表示而已，这是典型的把问题当作灰尘扫到毯子下面 (sweep the dust under the rug)的做法。对于具体的情形，比如深水炸弹在水中的自由下落过程，还是以实验为准。不管具体的细节，就均匀物体的自由下落而言，物体块头越大，最终达到的终极速度越大，因为阻力和迎面面积成正比，而重力同体积成正比。

在飞机关闭发动机、使用减速伞的情形，速度是水平方向的，重力不起作用，显然终极速度是零。如果在重力之外一直还有推力的存在，抛射体在空气中的运动可以是非常简单的形式。实际上，只要空气阻力是一个随着速度增加的函数，则将一个抛射体从零开始加速总会到达这样的时刻，其推力与阻力达到平衡。如果此后空气的物理参数没有剧烈的改变，抛射体会大致保持匀速运动。巡航导弹的中间巡航阶段就是这样运动的。巡航导弹是一种尺寸较小、有尾翼的导弹，其在发射后依靠主发动机的推进会达到推力与空气阻力平衡、升力与重力平衡的状态，从而以近似等高度、等速度的状态在低空中长途飞行。巡航导弹在稠密大气层飞行，飞行高度低，不易被远程侦测，攻击具有突然性。

火箭方程

抛射体的弹道问题初步，可简化为一定质量的、具有一定初速度矢量的质点在重力场下、大气中的自由飞行过程。抛射体的飞行距离受限于其能获得的初速，指望提高初速以提高射程效果也极为有限。使用火药爆炸给予加速的这类火炮，射程(range)被限制在了100 km左右，大口径的可能只有40 km。对抛射体飞行这个物理问题的扩展，一方面是抛射体在运动过程中随时会有加速, 另一方面抛射体的质量也是动态变化着的。此外，实际的炮弹，尤其是后来演化出的火箭弹，具有很大的尺寸和大的长径比，当作质点处理就不合适了，必须当作有限尺寸、具有特定几何的刚体对待，其飞行稳定性是首要考量(见下)。为了提高射程, 策略之一是发射后继续加速。作为二级效应，一些阶段性有用的部分在变得多余之后可以抛掉，比如运载火箭在发射过程中会及时抛掉前级火箭的空壳(不知道这灵感是否来自鸟类。鸟类在飞行途中会随时排泄以减少自身重量)。在抛体飞行过程中加速的一种简单实现方式见于火箭增程弹(racket-assisted projectile)。火箭增程弹是火炮和火箭技术相结合的产物，弹丸后部加装一台火箭发动机。当弹丸飞离炮筒一定距离后，火箭发动机点火给弹体加速，从而达到增程的目的。20世纪30年代就出现了火箭炮，炮弹以火箭推进的方式获得更远的射程。火箭炮完全依靠火箭发动机助推飞行。火箭炮没有后座装置，因为它的发射是一个从零速度开始加速的过程，初始时的加速度也可以是不那么剧烈的。根据公开的资料，中国 “卫士-2D” 型火箭炮的火箭弹长为8100毫米，弹径为425毫米，射程可达400公里。

任何一个装置，通过一个消耗自身质量的反方向推进系统获得加速度，都可以看作火箭。古时候就有的鞭炮“窜天猴”就是火箭的原型。自加速体系可以笼统地都归入火箭一类，其利用的原理一般会表述为动量守恒，但可以理解为两体体系的惯性问题。不受外力的两体体系，, 当一者因为爆炸、燃烧、弹出等原因获得动量增量∆p时，另一部分必然获得动量增量，这就是反冲。利用持续的反冲过程可以实现长时间加速从而获得高速。

当一个物体最终被加速达到第一宇宙速度，7.9 km/s, 即便停止加速该物体也不再是抛体了，因为它不再会因为重力而落下。若达到第二宇宙速度，11.2 km/s, 该物体就能飞离地球。达到第一宇宙速度是开启航天时代的前提条件。

齐奥尔科夫斯基 (Константи́н Эдуа́рдович Циолко́вский，1857-1935) 于1898年完成了航天领域的经典论文《利用喷气工具研究宇宙空间》，开启了利用火箭的航天时代，其于1903年推导得到的齐奥尔科夫斯基火箭方程(Tsiolkovsky rocket equation) 是理解火箭推进问题的学术基础。考察一枚火箭，假设它离地面很远重力可忽略不计故而是一个不受外力的体系，在时刻质量为m，速度 (严格说来是速率)为, 在下一时刻质量变为而被加速到，原因是喷射出了相对于火箭其速度 (强调一下，谈论速度是要有参照物的！)为的质量, 由动量守恒得

忽略二阶小量得到方程

积分，得

其中是火箭的初始质量，是火箭在某个推进阶段后的质量。这就是齐奥尔科夫斯基火箭方程。由此公式可见，火箭若想获得大的速度增量，火箭喷出的射流速度要大，要携带足够多的工质，即要够大。重要的一点是，无用的质量要及时抛掉以获取更有效的推进 (因为，是某个阶段开始时可以抛弃的无用质量), 这就是深空探测用火箭采用多级火箭和捆绑助推火箭的策略的原因，前级火箭一旦燃料用尽就可以即时抛掉从而获得更有效的推进。不过，火箭初始时的质量越大，对初级火箭推力的要求就越高，故而会带来更大的技术挑战。当前最强大的运载火箭，其起飞重量超4000 T。

携带捆绑式助推器的多级火箭