好蛋大爷的纠缠谱猜想——路径积分虫洞效应揭示纠缠谱与能谱的迷离关系

来源：《返朴》（ID：fanpu2019）撰文：严正（香港大学物理系研究助理教授）

一个好的猜想，值得一个漂亮的证明，和一些恰到好处的推广。从路径积分虫洞效应出发，我们的工作提供了理解好蛋大爷的纠缠谱猜想的一个好的思路，也孵出了额外的“好蛋”。

一
纠缠谱猜想

数学爱好者都喜欢证明猜想，比如黎曼猜想、哥德巴赫猜想等等。其实物理界也有一些传奇人物的猜想，比如2016年诺奖（拓扑物理）得主之一，好蛋大爷（F.D.M. Haldane，此处“好蛋”乃爱称，绝无不敬之意。Tips: 好蛋用广东话读和英语更配哦~）就有一个很著名的猜想，即，自旋半整数链无能隙，而自旋整数链存在能隙[1]。这其实是拓扑物理的开端之一，里面涉及的边缘态、分数激发等有着丰富的物理内容，感兴趣的可以去看多体物理界的呐喊彷徨卡洛君（你懂的）等人之前的科普文[2]。
其实好蛋大爷还有另一个有名的猜想：拓扑态的低能纠缠谱应该与边缘态的能谱相似[3]。笔者要介绍的近期工作，就是关于这个主题的。我们最近在发展量子蒙卡求解纠缠谱的过程中，意识到路径积分构型下的虫洞效应是解释纠缠谱和物理系统能谱看似迷离关系的钥匙，同时发现虫洞的物理图像不但可以解释好蛋大爷的猜想，还能进一步推广纠缠谱与能谱的一般关系！
早在2008年， Li Hui和好蛋大爷就提出了一个十分新潮的概念：用纠缠谱替代纠缠熵来表征多体物态应该是更普适的。因为纠缠熵是一个数值，而纠缠谱却类似于一个指纹，包含了更多的信息。在他们的开创性论文中[3]，以ν=5/2分数量子霍尔态为例，发现了它们都拥有一样的低能纠缠谱结构，并且这与共形场论（CFT）紧密相关。至此，他们提出了低能纠缠谱可以作为表征拓扑态的指纹！不光如此，他们还提出了一个假想：拓扑态的低能纠缠谱与其边缘态能谱相似。
好蛋大爷一出手，一篇短短的四页论文，开辟了新领域，引领思潮（第一个题外话重点，好的工作并不一定要攻坚克难，也可以是开拓创新，引领思潮！）。此后有很多数值工作证明了好蛋大爷的猜想，但都不够系统和漂亮。几年后，祁晓亮老师等人（Qi, Katsura and Ludwig）的理论工作[4]在一些前提条件成立的情况下，通过CFT严格证明了二维有能隙拓扑态纠缠谱与其一维无能隙边缘态能谱的一般关系。至此，对于好蛋大爷的猜想，有了一个更漂亮的解答和证明。但局限于CFT的成立条件和数学推导的抽象性，人们仍没办法回答更一般多体系统中纠缠谱与能谱的关系。

轮到我们上场了。近期，本港Meng哥和耶鲁的另一位Meng哥联手，带着小赵、小陈、杭州（不是隔壁）老王和笔者等人开始研究一些纠缠熵和多体相变的问题。闻名遐迩的魔性秋裤算法（Qiu Ku）开始席卷facebook、微博等平台[5, 6]。某天，鄙人在听复旦理论物理报告之时，正好讲到纠缠谱和拓扑物态的关系。受限于目前的数值技术，人们只能研究一维量子系统的纠缠谱。这启发了笔者的一个想法：通过量子蒙卡结合数值解析延拓技术，求解纠缠谱（第二个题外话重点：要多听报告！）。后面的故事，就这么展开了。

二
研发算法

纠缠谱的定义是，假设一个系统A与环境耦合，通过对环境求迹（trace），我们能得到A的约化密度矩阵ρA。此时，我们可以定义此约化密度矩阵与对应纠缠哈密顿量HA的关系为。熟知解析延拓的朋友都知道，能谱S(ω)虚时间关联函数G(τ)存在拉普拉斯变换的关系，即。解析延拓的作用就是当知道G(τ)时，反解拉普拉斯变换得到S(ω)。关于数值解析延拓技术，具体细节大家可以再参看多体物理界的呐喊彷徨君前期博文[7]，亦或北师大邵慧老师与波士顿大学善德伟（A. W. Sandvik）老师近期综述[8]。

然而，想要通过模拟约化密度矩阵求解纠缠谱，还有一个问题，即中并不存在虚时间的演化，无法提取动力学的关联函数。苦思多日，笔者想到了一个极其简单的破解之道：将密度矩阵做幂次操作，即。这里的n就可以作为时间维度（等效温度βA），以此得到纠缠哈密顿量HA对于虚时间演化的响应。但这同时也带来了一个弊端：这个等效虚时间长度必须是整数点，后面会展开。我们在量子蒙卡里需要抽样的路径积分表达式为，其构型如图1。

图1.的路径积分示意图。灰色底和白色底将体系分为系统A和环境。A部分的虚时间复制体之间互相粘连，部分则是同一个复制体的上下边界粘连。形成如此一个奇怪的复制体流形，在n=2的时候，近期也被某些人称为“秋裤”[5, 9]。

我来解释一下这个路径积分的图像：横轴是实空间的构型，比如自旋，玻色子，费米子等；纵轴则是虚时间，不同虚时间上，构型在演化。灰色底和白色底将体系分为系统A和环境。我们对每个的路径积分采用虚时间循环边界条件，因为Trace要求路径积分回到原态，而中间的虚时间长度β足够大，则可以保证得到基态。类似地，在A部分我们将虚时间挨个儿粘起来，并要求第一个复制体下边界和第n个复制体上边界粘连，以实现。很明显，两个邻近复制体的上（下）边界之间差了一个虚时间演化算符，所以这些复制体连接处对应了纠缠哈密顿量HA路径积分演化的整数时间点，如图1所示。这里我需要强调下两个倒温度（虚时间长度）是两个完全不同的概念，纠缠哈密顿量HA的倒温度是βA=n，即复制体个数。而体系本身哈密顿量H所处的倒温度则为β，即一个复制体内部的虚时间长度。接着，通过测量这些复制体连接处的自旋关联函数，我们就可以得到HA的整数点虚时关联函数，从而解析延拓出纠缠谱。

三
小试牛刀

有了这个方案之后，小编马上在自旋1/2海森堡相互作用梯子模型上做了简单的测试。此处我们选择的纠缠边界是将梯子两条链切开，如图2(a)所示，这个纠缠边界正比于链长L，这会带来纠缠矩阵的发散。本文取L=100，这在其他的任何数值方法中都是不可想象的。得到了A的纠缠谱，其性质确实与A的能谱一致。比如链间和链内耦合都是反铁磁的时候，看到纠缠谱就是一个反铁磁自旋链的激发，如图2(b)。当把链内耦合改成铁磁的时候，纠缠谱就变得与铁磁自旋链的二次型激发一样。这些是老早严格对角化结果无法做到的，不作展开，感兴趣的可以看参考论文[9]。

图2. (a) 自旋1/2海森堡梯子模型，链长L=100。J表示链内耦合，J’是链间耦合。虚线表示纠缠切割边界，将体系分成系统A和环境。(b) J=1, J’=1.732时的低能纠缠谱。(c) J=-1,J’=1.732时的低能纠缠谱[9]。

04
发现虫洞

到这里，还只是数值上又看到了好蛋猜想的例子，并没有好的物理图像来解释。某天，小编和娃玩耍之时，折纸游戏启发了我开始思考这个复制流形上到底发生了什么。如图3(a)所示，事实上在每个复制流形内，不同演化路径带来的消耗是不同的。在环境中，由于下边界与上边界粘连，世界线可以实现瞬移到达复制体的另一边，这和宇宙中的虫洞效应很相似。但是在系统A内部，演化的世界线只能老老实实穿过长为β的体内到达另一边，这对关联函数的消耗极其巨大。世界线的虚时演化反映了关联函数的消耗，同时也反映了纠缠谱的能隙（粗略地我们知道虚时关联的衰减形式满足，此处的Δ就是最低纠缠谱能隙）。当一个体系存在能隙时，显然经过的虚时间路径越短，关联函数消耗越少。所以通过虫洞的世界线显然比硬穿过复制体内部的世界线对复制体粘合处的关联函数贡献更大。如图3 (a)，可以看到，在纠缠边界上的世界线演化过程，假使有一个准粒子世界线从下面的复制体进来，那么它有两个选择：一则它可以老老实实从系统A内部穿过，那么它将要度过的路径长度大约是β量级，它将会迅速衰减（变细）；二则，它可以借助纠缠边界进入环境中，那么同样的，如果它老老实实从复制体内部穿行，也会快速衰减，但是此时它如果往下时间边界走，将会瞬移到上时间边界（上下时间边界粘连，图中虚线表示瞬移过程），从而几乎没有消耗就可以到达另一边，并且再次通过纠缠边界，回到系统A并进入下一个复制体。这就很容易理解好蛋大爷的猜想了，因为纠缠边界附近的路径很短，消耗少，所以边界上的激发成为低能纠缠谱的主要部分。

图3. (a)在一个复制体内，粒子世界线演化的路径和消耗。在A部分，如果硬穿过整个体内，则需要跨越长为β的时间，这带来的消耗是极其巨大的。但如果从环境的虚时间下边界穿出，则由于时空的粘连，可以瞬间达到上边界，如同虫洞一般。这个虫洞效应会大大减小世界线演化对于关联函数的消耗。(b)通过测量图1的复制流形上虚时间关联函数，可以清晰看到，在复制体连接处，会有一个高起的慢衰减模式，这就是由虫洞效应诱导的纠缠哈密顿量模式。而在复制体内部，关联函数快速衰减，这反映了体系本身哈密顿量的模式。(c)一个独立A系统的世界线演化。(d)纠缠哈密顿量HA的世界线演化[9]。

为了印证我们的猜测，测量了复制体流形上的所有虚时间关联函数，而不再只测量连接处。通过图3(b)可以明显看到，虫洞效应使得整数倍β处，即复制体连接处的关联有明显的升高。实际上，一个β时间段内迅速衰减的关联函数，源于体系本身哈密顿量能隙带来的消耗。而整数点隆起的关联函数，其包络线反映的，则是由纠缠哈密顿量主导的衰减模式。

下面我们来做一个思想实验（第三个题外话重点，要鼓励瞎想一通！），进一步理解纠缠谱和边界哈密顿量的关系。如刚才的梯子模型，系统A的每个自旋都与环境耦合。假设存在一个A体系，不与环境耦合，也就是把和环境的连接都切断。那么其虚时间演化由A部分的哈密顿量决定，如图3(c)。另外，存在一个由纠缠哈密顿量HA演化的体系，而我们只能在整数的虚时间点上观测它的演化，如图3(d)。注意，我们只能在整数虚时间点观察到实线的行为，事实上，整数虚时间点的演化行为就是我们在复制流形（图1）的复制体连接处看到的，它的演化行为就是由A上的哈密顿量导致的。所以我们看到图3(d)的实线处演化行为，和图3(c)是没有分别的。同时，定义纠缠哈密顿量的时候，我们包含了一个假设，即纠缠哈密顿量不含时，所以我们在任何虚时间时刻看到的演化行为应该一致。故而我们可以用图3(d)实线处的演化规则，脑补出中间段的演化过程，即虚线所示。由此，你会发现图(d)和图(c)的演化规则应该是一致的，除了虚时间长度的定义上会有差别（拉伸）。这就解释了为何图2中纠缠谱和单链的能谱一致。

五
大试牛刀

为了简单地验证一下这个思想实验的正确性，我们计算了一个双层海森堡模型。如果我们的猜想成立，层间切开后的纠缠谱应该和单层的正方晶格海森堡模型能谱类似。即我们对层间耦合做调整，只要耦合不极端（0，无穷等），即使体系发生相变，也不应该改变纠缠谱。事实确实如我们所料：我们测量了（1）层间耦合较小，体系处于奈尔序；（2）量子O(3)临界点；（3）层间耦合较大，进入dimerized相三种情况。它们都展示出了类似、甚至一样的激发模式，即正方晶格反铁磁海森堡模型的典型Goldstone模式，如图4。这里不得不多提一句，这是人们首次得到了一个纠缠边界是二维面的纠缠谱！在技术方面也是令人兴奋不已的！

图4. (a) 自旋1/2反铁磁海森堡双层模型，边长L=50。J表示面内耦合，J’是面间耦合。虚线表示纠缠切割边界，将体系分成系统A和环境。(b) J=1, J’=1.732时，奈尔相的低能纠缠谱。(c) J=1, J’=2.522时，O(3)临界点的低能纠缠谱。(d) J=1, J’=3时，dimerized相的低能纠缠谱。图中白线是线性自旋波对反铁磁正方晶格海森堡模型的结果，可以看到纠缠谱和单层的能谱符合得很好[9]。

六
一般结论

这些数值证据，事实上已经超越了好蛋猜想和祁晓亮老师等人严格证明的适用范围了。至此，我们信心爆表，又恬不知耻地（主要是笔者）给出了更普适的预言：纠缠谱的低能模式由路径积分中世界线的路径竞争决定，而纠缠边界和系统体内的时间长度是不一致的，环境时间上存在虫洞效应。我们大致可以想象，在一个复制体内虚时演化时，如图3(a)：若粒子世界线一直在A内部演化，其付出的代价大概是βΔ。而如果粒子的世界线在纠缠边界附近演化，它付出的代价大概是Δe（我们粗略认为其时间长度由于虫洞效应，缩减为1的量级）。这里就不难得到好蛋大爷的猜想了：体内有能隙但存在无能隙边缘，所以在边缘上演化的世界线当然贡献了大量的关联信息。我们可以进一步大胆推测：即使边缘上有能隙，只要能隙有限，纠缠谱都应该和边缘能谱相似。但如果存在一个物态，其体内是无能隙的，边缘上有能隙，通过适当调节温度β，此时纠缠谱就应该更像体的能谱。我们又紧跟着让新来的小兄弟，传说中的HKPF小宋，做了一个数值计算验证了这个猜想，如我们所想，在特殊的设计下，好蛋猜想被完全反转了：系统的低能纠缠谱也可以更像是体的能谱。感兴趣的朋友们可以看我们最近的文章[10]，这里不加赘述。

参考文献

[1] Haldane F.D.M., Continuum dynamics of the 1d Heisenberg antiferromagnet: Identification with the O(3) nonlinear sigma model, Physics Letters A 93, 464, (1983)[2]《Haldane大叔的猜想》[3] Li H, Haldane F D M., Entanglement spectrum as a generalization of entanglement entropy: Identification of topological order in non-abelian fractional quantum hall effect states, Physical Review Letters, 101, 010504 (2008).[4] Qi X L, Katsura H, Ludwig A W W., General relationship between the entanglement spectrum and the edge state spectrum of topological quantum states, Physical Review Letters, 108, 196402 (2012).[5]《我爱纠缠如秋裤｜量子多体中的呐喊与彷徨之八》[6]《在纠缠中窥见自然的奥秘》[7]《海森堡模型的谱，到底有多靠谱》[8] Shao H, Sandvik A W. Progress on stochastic analytic continuation of quantum Monte Carlo data. arXiv preprintarXiv:2202.09870(2022).[9] Yan Z, Meng Z Y. The wormhole effect on the path integral of reduced density matrix: Unlock the mystery of energy spectrum and entanglement spectrum. arXiv preprintarXiv:2112.05886(2021).[10] Song M, Zhao J, Yan Z, Meng Z Y. Reversing the Li and Haldane conjecture: The low-lying entanglement spectrum can also resemble the bulk energy spectrum. arXiv preprintarXiv:2210.10062(2022).

出品：科普中国

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编辑：薛定谔的薛定谔

新闻来源：中科院半导体所，文中所述为作者独立观点，不代表icspec立场。更多精彩资讯请下载icspec App。如对本稿件有异议，请联系微信客服specltkj。