计算太阳的引力红移

来源：万象经验作者：Eugene Wang

爱因斯坦广义相对论发表的时候，他表示万有引力是时空弯曲的表现，这是可以用实验检验的。他举了三个实验：引力红移、光线偏折、水星近日点进动，其中最容易的就是引力红移，大家最容易看懂，也最先学会就算。

爱因斯坦表示，根据广义相对论，在引力场强或者引力势低的地方，钟会走得较慢。例如，太阳表面的引力场就比我们这里的引力场强得多，所以太阳上的钟就比地球上的钟走得慢。但是，我们也没法在太阳表面放置一个钟，那么怎么进行检验呢？

爱因斯坦说，太阳表面其实有一个钟，那就是光钟。不同元素发出的光其实都是以不同的频率振荡的钟，由于太阳上的时间变慢了，所以光的频率就会变低。因此，同一根光谱线，在地球实验室拍的和在地球拍太阳的会不一样，后者会产生红移。

如图所示，在太阳表面和地球表面分别有静止的光源和静止的观察者。光源在坐标时刻t1发出一个光子，观察者在坐标时刻t2接收到这个光子。光源在坐标时刻t1'又发出一个光子，观察者在坐标时刻t2'接收到这个光子。在稳态时空中，我们可以得到以下关系：

上面这个等式表示的是两个光子接收和发射时间差相等，我们可以做以下变换，把它变成发射两个光子的时间差和接收两个光子的时间差相等。

应该注意的是，上面的时间是坐标时，而我们真实经历的时间是固有时。固有时和坐标时之间有以下关系：

在这里，我们使用施瓦西度规代入上式：

因此，我们就可以利用坐标时与固有时之间关系，来求得两地之间固有时的关系，其中r1是太阳半径，r2是地球到太阳的距离：

接下来，我们把光子的频率想象成一种节拍器，用振动的次数除以时间就是频率，等式如下所示：

由于两地得到的振动次数是一样的N1=N2，所以我们可以得到频率的关系：

这里我们可以做一个近似处理，与太阳施瓦西半径相比，r2可以当成无穷大。然后我们还把恒星表面处的固有频率v1写成v0，太阳半径r1写成R，于是就得到：

引力红移是广义相对论所预测的一种效应，已被天文观测所证实。一般情况下，我们会使用红移的相对值来定义：

可以对上式进行泰勒展开，并保留一级近似：

我们把有关太阳的参数带进去，可以得到相对红移的理论值为。

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编辑：薛定谔的薛定谔