我们如何感知四维空间的存在对象？真的存在不会终结的表面吗？

文章来源：知识就是力量

原文作者：知识就是力量

先一起做下面的实验，感受莫比乌斯环的神奇。

用笔从莫比乌斯环的任意一点开始画线。你会发现，笔不必跨过莫比乌斯环的边缘，笔迹就会布满整条纸环，不分正反面，且又回到了起点。这似乎没什么特别之处，但是，若将笔迹想象成我们走的路线呢？这意味着，我们将会在莫比乌斯环上无限循环地走下去。

之所以是这样，是因为莫比乌斯环实际上只有一个面，并且是不可定向的，如果沿着笔迹行走，当你返回到原始位置时，你实际上将成为自己的镜像。

与此同时，我们想象一下，如果将一个曲面上下延长，然后按照制作莫比乌斯环的方式，扭曲其一端再与底部相接，这样一来，一个没有内外之分的克莱因瓶就完成了。

图源: Fouriest Series on tumblr

在数学领域中，克莱因瓶是指一种无定向性的平面，在拓扑学中，克莱因瓶是一个不可定向的拓扑空间。在三维空间中，克莱因瓶的结构可表述为：一个瓶子底部有一个洞，延长瓶子的颈部，并且扭曲地进入瓶子内部，然后和底部的洞相连接。

和我们平时用来喝水的杯子不一样，这个物体没有“边”，它的表面不会终结。因此无论你从哪儿往里边灌水，水都会从这个瓶子里流出来，没有人能够将它灌满。且它和球面不同，一只蜜蜂可以从瓶子的内部直接飞到外部而不用穿过表面。因此有种说法是：克莱因瓶是“永远装不满”的瓶子。

图源：微信公众号“唯物工作室”

图源：微信公众号“唯物工作室”

理论上讲，可以通过将两个莫比乌斯环的边缘粘合在一起来构造克莱因瓶，但实际上在三维空间中这样做是不可能的（你可以尝试），真正的克莱因瓶是一个在四维空间中才可能表现出来的曲面。在三维空间中，我们只是牺牲了部分特征，把它表现得似乎是自己和自己相交一样。事实上，它的瓶颈是穿过了第四维空间再和瓶底圈连起来的，并不穿过瓶壁。因此，直到现在，克莱因瓶仍是菲力克斯·克莱因（德国数学家，于1882年发现并以他的名字命名的“克莱因瓶”）头脑中的“虚构之物”。

不过，有些科学家脑洞大开地将克莱因瓶的构造与宇宙的边界联系在一起，猜想宇宙是否就是一个大型的克莱因瓶？人类之所以没有办法到达宇宙的边际，是因为宇宙根本就没有边际，也没有内部与外部差异，就是一个不断循环的空间。因此，无论人类的科技再先进，也无法探索到宇宙的边际，飞得再远也只能绕回原点罢了。也许人类想要探索宇宙未解的奥秘，就需要制造出真正的克莱因瓶，解开四维空间的谜团，进入更高维的空间，才能揭开宇宙的面纱。

其实，无论是莫比乌斯带还是克莱因瓶，其实都是拓扑学领域的问题。

拓扑学是研究几何图形或空间在连续改变形状后，还能保持不变的一些性质的学科，是现代数学的主要领域之一。在拓扑学中，人们只考虑物体间的位置关系，而不考虑它们的形状和大小。

你一定听说过，咖啡杯和甜甜圈是同一类的表述，实际上在数学家的眼中，咖啡杯和甜甜圈在本质上的确是同类。这是为什么呢？

这里就要提到一个概念叫作同胚。我们把拓扑空间比作一个几何物体，同胚就是把物体连续延展和弯曲，使其成为一个新的物体。因为咖啡杯和甜甜圈都有一个“洞”的结构，所以一个足够柔软的甜甜圈，你可以把它想象成橡皮泥，一定可以捏成咖啡杯的形状。

著名的咖啡杯和甜甜圈动画 | wiki

不过，捏橡皮泥的游戏有一些规则：

1、不允许在橡皮泥上打洞；

2、不允许将橡皮泥上的两点捏合在一起（我们没法将球形的橡皮泥做成甜甜圈的形状）。

当我们说两个对象具有相同的拓扑或者拓扑等价（咖啡杯和甜甜圈具有相同的拓扑），这意味着，即使这两个对象在几何形状上有所不同，但它们在拓扑上完全等价。我们可以将橡皮泥拉伸成可以想象的任何奇怪形状，但在拓扑结构世界中，所有这些形状都完全相同。

再例如，圆和方形、三角形的形状，虽然大小不同，但在拓扑变换下，它们都是等价图形；足球和橄榄球，也是等价的——从拓扑学的角度看，它们的拓扑结构完全一样。而游泳圈的表面和足球的表面则有不同的拓扑性质，比如游泳圈中间有个洞。在拓扑学中，足球所代表的空间叫做球面，而游泳圈所代表的空间叫环面，球面和环面是不同的拓扑空间。

以上这些都是三维空间可视化的拓扑对象，但拓扑的一个优势是，它允许我们使用同样的方法描述四维中存在的对象。就是我们前述的莫比乌斯环和克莱因瓶。

其实，在我们生活中，拓扑学有很多应用，例如设计者将传送带做成莫比乌斯环的形状，这样可以有效减缓传送带的老化；打印机的色带其实也是莫比乌斯环形状；一些建筑设计也将拓扑学应用其中。

当然，我们上述阐释的只是拓扑学的冰山一角，拓扑学还有很多分支学科：点集拓扑学、代数拓扑学、微分拓扑学、几何拓扑学。作为数学中一个非常重要的领域，不但推动着学科进步，也代表了数学学科魅力。

参看文献：

[1]刘夕庆.当绘画注入了科学元素[J].知识就是力量,2015,No.508(03):62-65.

[2]顾险峰.北京大兴国际机场的几何探秘[J].知识就是力量,2020,No.574(09):6-9.

[3]邓怡超.披着魔术“外衣”的拓扑结构[J].知识就是力量,2021,No.584(07):10-11.

[4]朱继银.一个实验带你感受不可定向的空间[J].知识就是力量,2022.

[5]微信公众号“陕西师范大学物信院”2022年1月19日文章《克莱因瓶 | 什么？永远装不满的瓶子？》

[6]https://zhuanlan.zhihu.com/p/214200642

[7]https://wiki.mbalib.com/wiki/%E6%8B%93%E6%89%91%E5%AD%A6

[8]教育部.义务教育科学课程标准(2022年版)[S].2022.

编辑：木心