爱因斯坦广义相对论的定量检验

来源：中科院物理所

作者：朱庆祺

1915年底由爱因斯坦提出的描写引力的广义相对论可以被认为是整个物理学里最漂亮的理论。然而这样一个在物理思想和数学表述上如此之漂亮的理论是仅仅拥有形式上的和谐美，还是说它仍然是对我们客观世界的真实描述？本文将以广义相对论第一个严格解——史瓦西解为例，定量检验广义相对论的正确性。尽管史瓦西解是广义相对论引力场方程最简单的非平凡解（静态球对称解），但它却精确地描述了太阳附近的引力场。在传统牛顿引力理论的框架下，太阳附近的行星会围绕太阳做封闭的椭圆轨道运动；经过太阳附近的光线会不受其影响地沿直线传播。所以这里我们希望定量地看看在由新的引力理论——广义相对论给出的史瓦西时空（太阳附近的引力场）下，行星和光线的运动轨迹究竟会显现出什么样的与传统牛顿引力理论不同的结论，这些结论又是如何被精确的天文观测一一印证的。

（注：下文中所有公式均可左滑查看完整公式。）

1史瓦西度规——爱因斯坦场方程的静态球对称解

先考虑狭义相对论描述的平直时空情形。由于将要处理球对称分布的引力场问题（比如由恒星太阳产生的引力场），所以我们在自然单位制下写出闵可夫斯基平直度规在球坐标系下的形式是：

现在考虑一个球对称物质产生的球对称分布的引力场（比如位于坐标原点附近的某个恒星产生的引力场）。依据Birkhoff定理，此时的度规必然是静态的，即所有度规分量都不存在时间依赖性。推断此时的度规形式是：

这是个静态球对称度规，也叫“史瓦西度规”。当时，该度规需要退化到平直时空下闵可夫斯基度规的形式。同时注意到这里将度规里的待定参数设成指数函数的形式并没有特殊的物理意义。这样做只是为了方便之后计算联络和曲率，因为这两者的计算都牵涉到度规的导数，而对指数函数求导是最简单的。现在有了度规的形式，我们可以根据它先求出联络，即克里斯托菲尔符号：

经过一些繁杂的计算，我们最终得到如下9个独立的非零联络系数：

因为联络关于两个下标对称，所以还有一些非独立的非零联络系数没在上面单独列出来，读者容易通过这个下标间的交换对称性将其它4个非零的联络系数补齐，即：

可以发现，原本64个联络系数中只有13个系数非零！现在我们可以利用它们去计算黎曼曲率张量：

经过一些繁杂的计算，我们最终得到如下6个独立的非零黎曼曲率张量的分量：

读者容易通过黎曼曲率张量指标间的轮换对称关系将其它6个对应的非零黎曼曲率张量的分量补齐，即：

可以发现，原本256个黎曼曲率张量（带有4个指标）的分量中只有12个分量非零！现在我们可以将它们缩并成只带2个指标的里奇张量（里奇张量可以看成是黎曼曲率张量的某种平均，它也正是爱因斯坦引力场方程中真正需要用到的曲率张量）。里奇张量原本有16个分量，但因为原始度规的高度对称性，所以可以发现在对上面算出的黎曼曲率张量缩并后只会得到如下4个可以非零的里奇张量的分量。它们恰好对应该矩阵的4个对角元（注意：和不独立）：

由于我们现在考虑的产生引力场的物质（比如恒星）只是局限在坐标原点附近的一小块有限区域，而我们真正希望研究的时空区域是位于该物质（恒星）外部的，所以此时的能动张量和它的缩并均为0。所以我们要解的只是最简单的真空爱因斯坦场方程。因为之前计算出的里奇张量是个的对角矩阵，所以为了让里奇张量满足上述真空爱因斯坦场方程，它的所有对角元必须为0。将之前算出的里奇张量里对角元的具体表达式代入：

将上述关于和的两个式子相加：

容易解出：

其中是积分常数。将上式代入史瓦西度规的表达式，同时注意到可以被重新命名/定义成新的坐标时（这样做并不影响所有真实的物理可观测量）：

这种重新定义相当于令，代入的表达式得到：

这是个一阶常微分方程。通过分离变量法得出方程的解是：

其中是由积分常数生成的待定常数。将以上解的形式代入史瓦西度规的表达式：

容易验证当时，该度规的确退化到平直时空下闵可夫斯基度规的形式。所以到此为止我们已经通过真空爱因斯坦方程定出了史瓦西度规的数学形式。关于度规里待定常数的确定我们还得利用广义相对论的运动方程——测地线方程。我们的思路是：在低速静态弱场极限下测地线方程会退化到由牛顿第二定律和万有引力定律给出的运动方程。

一方面，在低速弱场近似下测地线方程将退化成：

另一方面，通过牛顿第二定律和万有引力定律里关于牛顿引力势的结论可以写出：

其中是经典的牛顿引力势。所以通过对比上述测地线方程给出的结果和牛顿运动定律给出的结果可以定出。

最后将待定常数的值代入史瓦西度规的表达式得到自然单位制下的史瓦西度规形式是：

史瓦西度规是爱因斯坦引力场方程的第一个严格解，也是一个极其重要的解。它的物理内涵相当丰富，很多重要的时空情形都可以用它去描述。比如由太阳产生的引力场就可以用史瓦西度规精确地描述。所以下面我们就研究两个具体情形，即：在太阳产生的史瓦西时空下水星轨道近日点的进动和光线掠过太阳表面时的偏折。

2水星轨道近日点的进动

有了第1节中解出的史瓦西度规的形式，我们现在就具体研究一下在由恒星（太阳）产生的史瓦西时空下行星的运动轨迹。由中最后解出的史瓦西度规的形式可以直接读出和的具体形式。将其代入中已经求出的联络系数表达式容易得到：

行星运动的轨道由广义相对论的运动方程——测地线方程给出。将上面已经算好的联络系数代入测地线方程可以得到如下分别关于的测地线方程。

注意到因为史瓦西度规分量中没有和的依赖性，所以该度规具有连续的时间平移不变性和关于角的旋转不变性。所以根据诺特定理我们期待关于和的测地线方程（运动方程）会给出两个守恒量：一个是能量，另一个是轨道角动量。

关于的测地线方程可以给出守恒量（能量）：

为了便于之后推广到无质量物体（光）的情形，下面的分析不直接使用关于的测地线方程。

关于的测地线方程是：

要解上述关于的二阶常微分方程就必须先知道和的初始条件。若规定以恒星和行星速度矢量张成的平面为赤道面（xy平面），垂直于赤道面的方向为z方向，则：

这意味着行星在垂直于赤道面方向的速度和加速度均为0。所以行星的运行轨道是个落在赤道面上的平面曲线。

关于的测地线方程可以给出守恒量（轨道角动量）：

为了便于从这里讨论的有质量行星的运动直接推广到第3节中无质量光子的运动，我们这里从原始度规的角度出发得到关于径向的微分方程。考虑原始的史瓦西度规：

对于我们现在考虑的有质量物体而言，固有时非零，所以可以将上式两边同时除以，然后代入上面测地线方程给出的守恒量的结果，化简整理后得到关于的微分方程：

将上式类比到“总能 = 动能 + 势能”的形式可以得出广义相对论里有质量物体的有效势函数：

其中括号里的部分恰好是牛顿引力理论里有质量物体的有效势函数（第一项是经典的牛顿引力势，第二项是变换到球坐标系产生的离心位能）。

为了直观，【图1】作出了牛顿引力理论和爱因斯坦广义相对论里有质量物体的有效势函数。可以看出两者的差别主要体现在的时候。

图1 纵轴是有效势，横轴是与太阳的径向距离。红线代表牛顿引力理论里有质量物体的有效势函数，绿线代表广义相对论里有质量物体的有效势函数

根据链式求导法则，

将这个的结果代入到之前由原始度规线元得到的关于的微分方程，然后方程两端同时对再微分一次并令 。于是方程化简成：

容易发现方程右边的第二项是广义相对论给出的修正项，方程其余部分和传统牛顿引力理论给出的结果完全一致。设方程的解是，其中是不考虑广义相对论修正项时的牛顿解，是考虑了广义相对论的修正项后对原始牛顿解的微扰修正。所以满足方程：

容易解得（不妨设轨道的初始相位是0）：

这恰好就是极坐标下的圆锥曲线方程！其中是曲线离心率：当时对应圆轨道，时对应椭圆轨道，时对应抛物线轨道，时对应双曲线轨道。因为我们现在考虑的是一个稳定的行星运动轨道，所以只能取，即一个封闭的圆/椭圆轨道。这与牛顿引力理论和开普勒的行星运动定律给出的结论是完全一致的！【图2】作出了牛顿引力理论下行星围绕恒星运动时的封闭椭圆轨道图像：

图2 纵轴是y，横轴是x。两者共同张成了行星运动轨道所在的赤道面。位于坐标原点（即红色椭圆的一个焦点）的蓝色圆形代表恒星，红线代表牛顿引力理论下行星运动的封闭椭圆轨道

下面考虑微扰所近似满足的方程。注意到：

化简整理得到关于的线性常微分方程:

注意到方程右端由平方展开后的交叉项给出的驱动项恰好位于系统的共振频率处，所以该驱动项对应的那部分解存在着累积发散（共振），且将来算出的水星轨道进动效应就来自于这一项！因为上述微分方程已经简化成线性方程的形式，所以可以利用叠加原理得到上述微分方程的解是：

所以在考虑了广义相对论修正后，总的解是牛顿解和微扰之和：

因为广义相对论给出的修正相对于原始的牛顿解非常小，所以进一步将和相应的近似写成类似于之前极坐标下圆锥曲线的形式，以便于和原先牛顿引力理论给出的轨道结果作对比：

因为我们现在考虑的是一个稳定的行星运动轨道，所以只能取。【图3】和【图4】作出了原先牛顿引力理论下行星围绕恒星运动的封闭椭圆轨道和广义相对论下行星围绕恒星运动的类椭圆轨道近日点的进动。可以看出此时的轨道并不是封闭曲线！

图3 纵轴是y，横轴是x。两者共同张成了行星运动轨道所在的赤道面。位于坐标原点（即红色椭圆的一个焦点）的蓝色圆形代表恒星，红线代表牛顿引力理论下行星运动的封闭椭圆轨道；绿线代表广义相对论下行星运动的类椭圆轨道（非封闭轨道），它的轨道近日点在发生进动！图4 纵轴是y，横轴是x。两者共同张成了行星运动轨道所在的赤道面。位于坐标原点（即红色椭圆的一个焦点）的蓝色圆形代表恒星，红线代表牛顿引力理论下行星运动的封闭椭圆轨道；绿线代表广义相对论下行星运动的类椭圆轨道（非封闭轨道），它的轨道近日点在发生进动！

下面我们根据的具体表达式定量地计算轨道近日点的进动角。在轨道近日点处，行星离恒星的径向距离最小，所以：

所以相邻两个周期间近日点的进动角度是：

然后利用牛顿引力理论里封闭椭圆轨道角动量的结果：

代入上面进动角的公式得到：

根据上述公式可以看出：离太阳较近（较小）且离心率较大的行星对应的进动角值较大便于观测。所以下面我们选择离太阳最近的水星为例计算一下每100年（一个世纪）由广义相对论效应带来的水星轨道近日点的进动角。将如下已知的关于水星和太阳的天文观测数据代入上述进动角的公式

求得水星绕太阳一圈的进动角：

因为这个角度很小，所以将其换算成以更合适的弧秒（arcsec）为单位：

根据天文观测，水星每88天就会绕太阳一圈。所以我们容易换算出每个世纪（100年）水星的进动角是：

所以我们最终得出广义相对论效应会导致水星轨道近日点每100年（一个世纪）约进动的角度。这个角度非常非常小，因为它意味着每一万年（100个世纪）才进动约，或每十万年（1000个世纪）才进动约！

在广义相对论出现以前，19世纪末精确的天文观测结果已经显示：水星每世纪有约的进动，其中有约的进动是在当时已经清楚的在牛顿引力理论的框架下就可以解释的天文效应（注意：在纯粹牛顿引力理论的框架下行星的轨道严格来说并不是封闭的椭圆，它其实也存在轨道进动。原因是现实宇宙中并不存在真正的二体问题，所以我们必须把其它行星对水星的引力拉扯效应也考虑进来，此外还有分点岁差造成的自转轴进动等效应），还有约的进动角度无法得到解释。而20世纪初爱因斯坦广义相对论的理论计算结果刚好解释了这个！所以理论和天文观测结果完全一致！！！

3光线掠过太阳表面时的偏折

在第2节中我们已经定量研究了在由太阳产生的史瓦西时空下行星的运动轨迹。这一节我们将研究光线掠过太阳表面时的运动轨迹。与第2节中的分析类似，还是先考虑原始的史瓦西度规。但是注意对于光来说，线元（固有时）恒为0。与之前中使用的有质量物体（比如行星）的固有时不同，因为光的固有时恒为0所以不能作为测地线方程里的仿射参数。所以我们需要选取别的非零不变量代替原本固有时的位置作为光的仿射参数。除此之外，对于光的测地线方程的分析和之前第2节中的分析完全类似。所以依据基本相同的逻辑容易得到分别满足的常微分方程和相应的守恒量：

将上述测地线方程给出的守恒量的结果代入一开始史瓦西度规的表达式化简整理后得到关于r的微分方程：

将上式与之前中推导出的结果作对比。可以发现除了仿射参数选取的差别，两者的差别在于上面描述光的方程并不存在这一经典的牛顿引力势项（因为光子的质量是0，所以不存在经典牛顿形式的万有引力）。

将上式类比到“总能 = 动能 + 势能”的形式可以得出广义相对论里光子（无质量物体）的有效势函数：

其中括号里的部分是牛顿引力理论里光子（无质量物体）的有效势函数（因为光子质量是0，所以此时不存在经典的牛顿引力势一项，只存在变换到球坐标系产生的离心位能一项）。

为了直观，【图5】作出了在牛顿引力理论和爱因斯坦广义相对论里光子（无质量物体）的有效势函数。可以看出两者的差别主要体现在的时候。

图5 纵轴是有效势，横轴是与太阳的径向距离。红线代表牛顿引力理论里光子的有效势函数，紫线代表广义相对论里光子的有效势函数

根据链式求导法则，

将这个的结果代入到之前由原始度规线元得到的关于的微分方程，然后方程两端同时对再微分一次并令。于是方程化简成：

可以对比之前在中得到的关于的方程。之前的方程右端多出了的第一项，对应有质量物体的经典牛顿引力势。

容易发现方程右边的是广义相对论给出的修正项。设方程的解是，其中是不考虑广义相对论修正项时的牛顿解，是考虑广义相对论的修正项后对原始牛顿解的微扰修正。所以满足方程：

容易解得（不妨设轨道的初始相位是0）：

其中。这恰好就是极坐标下的（水平）直线方程！从极坐标下的几何关系很容易看出就是这条水平直线和x轴的垂直距离。所以在牛顿引力理论里光总是沿直线传播！太阳的引力场并不会影响光的传播路径。这个结论产生的根本原因在于经典的牛顿引力理论假设物体只是通过质量这一唯一的内禀属性和外部引力场耦合到一起的。而光子的质量是0，所以它无法耦合到牛顿形式的万有引力，自然不会和它发生相互作用。【图6】作出了牛顿引力理论下光线掠过太阳表面时的传播轨迹：

图6 纵轴是y，横轴是x。两者共同张成了由光线和太阳中心所确定的平面。位于坐标原点的蓝色圆形代表太阳，红线代表牛顿引力理论下光线掠过太阳表面时的传播轨迹（直线）

下面考虑微扰所近似满足的方程。注意到：

因为该方程右端不像之前中那样存在共振驱动项，且因为上述微分方程已经简化成线性方程的形式，所以可以利用叠加原理得到上述微分方程的解是：

所以在考虑了广义相对论修正后，总的解是牛顿解和微扰之和：

所以与相对应的的解是：

其中上式分母中的第一项是牛顿引力理论给出的主导项，第二项是广义相对论给出的修正项，它相对于第一项而言非常小，即满足：。

【图7】作出了牛顿引力理论下光线掠过太阳表面时的传播轨迹（直线）和广义相对论下光线掠过太阳表面时的传播轨迹（发生偏折的曲线！）。可以看出此时光的传播路径因为受到了来自太阳引力场的影响发生偏转！

图7 纵轴是y，横轴是x。两者共同张成了由光线和太阳中心所确定的平面。位于坐标原点的蓝色圆形代表太阳，红线代表牛顿引力理论下光线掠过太阳表面时的传播轨迹（直线），绿线代表广义相对论下光线掠过太阳表面时的传播轨迹（发生偏折的曲线！）

下面我们就根据的具体表达式定量地计算广义相对论中光的偏转角。因为偏转角与光线的斜率有关，所以不妨把上述极坐标下的关系变换到直角坐标下求解：

由【图7】可以看出：来自右侧遥远星体的沿左上方入射的绿色光线在路过坐标原点附近时受到蓝色太阳引力场的作用导致传播方向改变成了沿左下方出射的绿色光线。所以为了求出光线从无穷远入射到无穷远出射这整个过程对应的偏转角，我们必须研究光线在正负无穷远处的渐近行为。因为无穷远处的光线基本可以认为不受处于坐标原点太阳引力场的影响，所以可以把它的传播轨迹近似成直线。设该直线方程具有如下形式：

其中是直线斜率。因为广义相对论的修正很微弱，所以斜率的模值很小。把这个无穷远处和的线性关系代入直角坐标下绿线的方程得到：

当时，我们得到太阳右侧的绿线（入射光线）在无穷远处的渐近行为：

由此可以解得入射光线的斜率，进而求得入射光线与水平-x轴方向的夹角：

当时，我们得到太阳左侧的绿线（出射光线）在无穷远处的渐近行为：

由此可以解得出射光线的斜率，进而求得出射光线与水平-x轴方向的夹角：

所以从入射光线到出射光线这整个过程对应的总偏转角是：

根据上述公式可以看出：当最小时偏转角的值最大，即偏转效应最明显。而最小只能取到一个太阳半径，即光线恰好掠过太阳表面的情形。因为如果比它更小的话光线就会直接被太阳吸收而无法被观测到。所以光线偏转角的最大值是：

代入已知的关于太阳的天文观测数据

可以得到光线掠过太阳表面时的偏转角：

因为这个偏转角度很小，所以将其换算成以更合适的弧秒（arcsec）为单位：

可以发现：这个的光线偏折角度非常非常小，它仅有的万分之4.87（也就是不到的1/2000）！1919年英国剑桥大学的物理学家爱丁顿组织了两支观测队伍分别前往非洲的普林西比和巴西进行光线偏折角度的天文观测。最后，非洲普林西比那支队伍测出的偏转角是，巴西那支队伍测出的是。可以发现广义相对论理论预言的的偏转角刚好落在和中间！所以理论和天文观测结果符合得相当之好！！！

4结语

从第2节和第3节中对广义相对论的定量检验可以发现：爱因斯坦的广义相对论不仅仅拥有数学上的形式美，它更是对我们客观世界的真实描述！正是这两者的完美融合让广义相对论成为整个物理学史上最成功和最引人入胜的理论之一！

编辑：牧羊

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不代表中科院半导体所立场

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编辑：六块钱的鱼