怎样直观推导电磁波？

文章来源：大学物理学

原文作者：薛德堡

中学物理学过，空间中的变化的磁场和电场会相互激发，即所谓磁生电，电生磁。

那么，这种变化的电磁场在空间中移动会产生什么后果呢？

很多人脱口而出——电磁波！

对的！但问题是，波不应该是某种振动在空间中的传播吗？

例如，声波就是机械振动在空气中的传播。它的振源是一个位置作周期变化的质点，它通过弹力带动周围的空气质元振动，这种振动的传播就形成了声波。

简言之，声波由振动的质点引起，描述质元的位移随时间和位置的变化。

类似的，你自然就会想到，电磁波由振动的电荷引起。

没错！那么振动的电荷引起什么在空间中传播呢？

既然电磁波可在真空中传播，真空中没有电荷，振源电荷带动的不可能是电荷吧？所以电磁波描述的不可能是电荷的位移，更不可能是电荷本身。

那是什么呢？只可能是电场和磁场！

是的，电荷激发电场，运动的电荷还激发磁场，它们就像围绕着电荷的两团云雾一样。电荷振动，这两团云雾自然就会跟着抖动起来，这一抖动，就像湖水被搅动一样，波浪就会向外传播。

你可能会有一个疑问：既然静止的电荷周围有电场，那它由近及远的传播算不算电磁波呢？

这个问题本身是矛盾的，既然你说静止电荷，那么它在那里不动已经很久了，它的电场早就传到了足够远的地方，然后维持不变了。它的电场就像平静的湖水一样，是静态的，所以没有电磁波。

你又想起：匀速运动的电荷的电场应该是不断变化的吧！这一变，就会导致由近及远的扰动，会导致电磁波吗？

答案是：不会！

解释这个答案之前，先摆两个很浅显的事实。

一根长长的弹簧，一端固定，现在你匀速地拉或压它的另一端，你看到弹簧上会有波产生吗？当然不会，除非你用力反复拉和压，这时候纵波产生了。

一根绳子，一端固定在墙上，你手握另一端让其处于水平位置。若你匀速向上或向下，我敢肯定，不会有波沿着绳子传播，除非你上下抖动绳子，这时候横波产生了。

所以，要产生波，必须使相应的物理量在某个方向上有分量，而且是来回往复地变化量。对纵波来说，这个变化量沿着波的传播方向；对横波来说，这个变化量沿着垂直于波的方向。

什么是波的方向？就是从振源指向波所传到的地点的方向。对振动的电荷来说，它就是从电荷指向四面八方的任意一个方向。若以电荷为原点，那么任意径向就是波线方向，与之垂直即为横向。

不知道什么叫径向和横向？只要是从原点出发的直线就代表径向，曲线就是非径向。与径向垂直的就是横向。

所以，电荷要激发电磁波，必须具有横向的电场分量。

好了，现在可以回答上面的问题了：为什么匀速运动的电荷不能发出电磁波？

因为电磁波是横波，要产生电磁波，必须有横向的电场分量。但计算表明，匀速运动的电荷只有径向的电场分量！

当然，对此回答，你大概有两点疑惑：

第一，为什么电磁波是横波？

第二，为什么匀速运动的电荷的电场只有径向分量？

第一点暂时先放一下，后面再来证明。

至于第二点，思路倒是不难。

想想这样一件事：一个人从你身边径直远离你而去，你看着他，他的轨迹当然是直线。但若你在原地转动，你会感觉他的轨迹变成螺线了。这两个轨迹之间如何相互变换？

答案是：坐标变换。

类似的，物理问题可在不同的参考系中描述，从一个参考系变到另一个参考系，也是用坐标变换。坐标变换有两种，低速运动时用伽利略变换，高速时用洛伦兹变换。

在电磁学里，无论速度多少，伽利略变换都不适用，必须用洛伦兹变换。

设某坐标系K'相对于K系沿它们公共的x轴正向运动，相对速度为。根据洛伦兹变换，电场和磁场的变换关系为

其中，。

设K系原点处有一静止的电荷，则在处的电场和磁场分别为先把它们写成直角坐标的形式，然后直接套用上述变换关系就可得到在K'系中的三个电场分量。计算结果表明，当电荷处于系原点时这说明在运动参考系中，电荷的电场也一样是沿径向的！

怎么样？这个结论乍一看觉得有点违反直觉吧！那只怪你的直觉是错的，匀速运动电荷和静止电荷的电场确实是沿着径向的。

到此，问题的第二点讲完了。

再来关注下匀速运动的电荷的电场和磁场的特点。

下面是一个静止电荷和一个水平匀速运动的电荷的电场的样子。

从上图可见，对匀速运动的电荷来说，电场始终沿着电荷的径向，说明电场的分布与电荷同步移动。对高速电荷，电场更集中于横向的面内。

至于磁场，根据前面的公式（低速时就是毕-萨定律）可知，它的场线是一系列与速度方向垂直的环。磁场沿电荷速度方向的分量始终为零，这说明它的分布也是与电荷同步移动。对高速电荷，磁场的环也更集中于横向的面内。

所以，匀速运动的电荷的电场和磁场就像被电荷带着一起飞似的，它们的分布完全与电荷的运动同步，并无任何波动的特点。

讲到这里，你可能会问有点疑惑：按你这讲的，稳恒电流的电场和磁场的分布是不是在移动，既然那电荷都在运动？

稳恒电流中，虽然载流子在非常缓慢的移动，但总体来讲，电荷的分布不变，所以电场分布的移动可以忽略。

注意一个细节，这里没说电场或磁场随着电荷移动，只说它们的分布随着电荷移动。

总之，匀速运动的电荷无法产生电场的横向分量，所以没有电磁波发出。要发出电磁波，只能靠加速运动的电荷了。因为加速的电荷的电场线会拐弯，如下图所示。这样的电场线才具有横向分量，满足电磁波产生的条件。

那么就来看看，加速电荷究竟是如何产生横向电场分量的？

设有静止于O点的电荷，从0时刻开始，以加速度沿轴加速运动，加速时间为，电荷到达Ｏ'点，接着电荷以速度匀速运动。

考察匀速运动的某时刻。

一方面，从0时刻发出的电场线已抵达半径为的球面1。另一方面，从加速结束那一刻（时刻）发出的电场抵达另一个半径为的球面2，该球面的中心当然在Ｏ'点。

由于加速时间远远小于，Ｏ'和O几乎重合，所以球面1和2几乎是同心的，它们的半径差为。

既然电荷加速所引起的影响最远只到球面1，故球面1之外的电场还是电荷原来静止时激发的电场的样子——沿O点的径向往外。

而加速结束后发出的电场最远只到球面2，又根据前面所讲，匀速运动电荷电场分布总是随着电荷一起移动的，故球面2以内的电场总是沿电荷的径向。

根据高斯定理，包围该电荷的任意闭合曲面穿过的电场线的条数相同，因此在球面1和2之间的过渡区的电场线是连续的。

这说明，球面1内的电场线必然与球面2外的电场线成对的连起来。但它们的方向又不同，所以在过渡区，电场线必然发生扭折，这就导致横向电场分量了！

随着电荷的运动，过渡区的半径越来越大，如下图所示。随着横向电场扩散到更远的地方，电磁波也随之传到那里了。

以上分析中，为了使问题简单，假设电荷只加速一小段时间，所以存在一个过渡区。导致电场线折扭。实际上，如果是振动的电荷，它始终在加速，它的电场线有无数个连续的过渡区，最终形成光滑的弯曲电场线。

例如当电荷绕着圆圈高速旋转时，会导致它的电场像下面这个样子。是不是隐隐的感觉到一种由近及远的波动效果？

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不过，这个横向的电场到底有多大呢？

经过一个简单的计算（此处略）可知，离电荷、与速度方向夹角为处的电场的径向分量和横向分量分别为你大概看到了，径向分量与匀速运动的电荷的电场一样，其实根据库伦定律和高斯定理就知道这一点。因此，电荷加速运动就为做一件事——产生横向电场，从而为产生电磁波提供条件。

横向电场分量随着距离反比例的衰减，但你看到没有，径向分量按距离的平方反比衰减，所以横向分量比径向分量衰减慢！这使得在足够远的地方，横向电场贡献了电磁波的主要成分。

说完了加速电荷的电场，再看它的磁场。

既然电场知道了，磁场就按照安培环路定理来计算了，由电荷加速运动导致的磁场沿着与横向电场成右手螺旋关系，沿着方位角的方向，经过计算（此处略）得其值为看到了吧，和电场垂直于径向一样，磁场也垂直于径向，所以它俩都是横向的场分量。

波既然总是沿径向传的，那么横向电场和横向磁场都垂直于波线，因此电磁波必然是横波！电磁波本身就是横向场分量的振动在空间中的传播。

还有一个值得注意的事情是，无论电场还是磁场，它们的横向分量都包含因子，所以电场和磁场的振动的幅度取决于电荷加速度的横向分量值，这也是电磁波的横波特性的反映。

你可能有点不耐烦了：扯半天，到现在还不见电磁波的影子啊！

不急不急，马上就来！

既然电磁波只需要考察横向场分量，现在把这俩分量写一起再看看，不再带下标了——反正离电荷较远处，只剩下它俩了。

看到没，它们的分子上都带了加速度！

想一想，在简谐振动中，质点的加速度满足什么规律？

这个简单，加速度是位置的二阶导数，即令得

所以，当一个电荷作简谐振动时，它的加速度也在作简谐振动嘛！

根据电场和磁场的表达式，既然它们都在分子上含有一个，那它俩不也是作简谐振动吗？

没错！写出来就是其中看到了吧，它俩振动的节奏步调一致，也就是频率和相位都相同，并且它俩的幅度也满足一个特定的比例关系。

再考虑这种振动在空间中传播，抵达处，它俩相位都滞后其中是波长——虽然这里没给出，但你想，既然是波，当然得有波长嘛！实际上，电磁波的波长是电场和磁场在空间变化的周期，也就是电场线和磁场线相邻的两个最密集或最稀疏的之间的间距。

在振动方程基础上考虑相位滞后，得波函数为这就是加速电荷发出的电磁波。由于波的振幅与成反比，所以是球面简谐波，但当足够大时，球面波趋于平面波。

电磁波是横波，电场和磁场同频同相振动，其效果图如下。

再来个动图领会一下。

好了，咱已经成功的从加速电荷推导出电磁波了。

接下来的一个问题是，实际要发射电磁波，用什么方法让电荷一直听话地在那里简谐振动呢？

一个电荷的确不好操作，但成对的电荷就好搞了，阴阳搭配，干活不累嘛。一对等量异号电荷一分一合，不断循环，这就相当于每个电荷都在作简谐振动了！

用什么方法能达到这个效果？

它就是中学物理中学过的LC振荡电路，如下图所示

它的两个极板上带有等量异号电荷。由电路的知识可知，电荷量随时间的变化规律为其中这就造成电荷在电路上来回振动，如果不断补充能量，电容器就会不断进行充放电，维持电荷长时间作简谐振动，这样就可以产生电磁波了。

不过，要想将电磁波传出去，上面地电路需要作两方面地改造。

一方面，电路振荡地频率要足够高，才能提供足够的能量将电磁波辐射到更远的地方。所以要极可能的减小和。

另一方面，电路应更加开放，这样才能更好的将电场合磁场分布到空间中去。

据此原则改造后，LC电路变成了天线，它相当于一个偶极子，它是发射电磁波的理想振源。

下图就是一个偶极子振源发射的电磁波的电场部分。

磁场线比电场线简单，它是处在与电场线垂直的平面（平行于偶极子的中垂面）内的一系列同心环，如下图中所示（点和叉）。

可以看到，磁场与电场都与该点的径向垂直，这正是横波所具有的特点。

类似于加速电荷的情形，当离偶极子非常远时，电磁波也趋于平面波简谐波。

有人可能想问：光不就是电磁波吗？为什么要费这么大劲去发射？

答曰：因为光不是典型的电磁波，不能满足实际应用的需要。

可见光的频率都高达数十万GHz，产生这么高频率的电磁波只能凭借天然的电磁波发射器——原子和分子，也是光源。并且，光源发光可没法用电磁学解释，必须用量子力学才行。

另外，上面得到电磁波的过程中，有一个细节问题需要提示一下：只有在远离电荷或偶极子的地方——波场区，才能得到上面那种电磁波的结果。因为靠近电荷的地方，需要考虑其他的电场和磁场，情况比较复杂。

还需要指出的一个问题是，我们假设电荷作简谐振动，才得出电磁波具有简谐波的形式。但实际上如果电荷作其他加速运动，电磁波可以是非简谐波。

但无论电荷怎样加速度运动，在远离电荷的波场区，电磁波最基本的组分必定都是简谐波。为什么呢？因为根据傅里叶定理，任何加速运动都可以看作是简谐振动的叠加，这样的话，每个简谐振动所对应的电磁波必然还是简谐波。

当然，这一点也可以从麦克斯韦电磁波理论得到证实——下面马上就来了！

到此，本文的主要任务已经完成了。

但是，恐怕有人不满意，因为很多人听说了：电磁波是麦克斯韦方程组的结果！

没错，基于麦克斯韦方程组，我们可以很好的理解磁生电、电生磁的涵义，并从理论上推得电磁波。当年麦克斯韦就是这么干的。直到他去世后9年，德国的物理学家赫兹才通过实验证实了电磁波的存在。

Heinrich Hertz

其实，从麦克斯韦方程组推导电磁波，几乎是一个纯数学问题。只要你的数学足够好，考虑到自由空间没有电荷和电流，你可得到如下方程这种二阶线性偏微分方程的解就是前面给出简谐波。但这并不是说电磁波只能是简谐波，因为简谐波的线性组合可以得到非简谐波，组合得到的非简谐波也满足上述方程。

根据麦克斯韦方程组，你能得到电磁波的所有性质和规律，它们构成了整个电磁波理论