被疯狂催婚该如何提高相亲效率？让我先列公式算一算......

来源:中科院半导体所发布时间:2022-08-041103浏览

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作者：张天蓉

今天是「七夕节」

在这个情侣秀恩爱，“单身狗”扎心的日子里

万一这篇推文能帮大家找到对象呢？

哲学家的“麦穗问题”
苏格拉底和他的学生柏拉图都是古希腊著名的哲学家。一天，柏拉图问苏格拉底：什么是爱情？苏格拉底叫他到麦田走一趟，摘一棵最大最好的麦穗，但只可以摘一次，且不许回头，路径不能重复。柏拉图空手而归，原因是他在途中看到很不错的，却总希望后面有更好的，最终错失良机。苏格拉底告诉他: 这就是爱情！之后又有一天，柏拉图问苏格拉底：什么是婚姻？苏格拉底叫他到树林走一次，争取带回一根最好的树枝，只采一次且不许回头。最后柏拉图带回一根中等质量的树枝回来，他接受了上次的教训，看到“差不多”的树就做决定了！苏格拉底说: 这就是婚姻。

苏格拉底与柏拉图
麦穗和树枝问题来形象地比喻了爱情和婚姻的不同：前者是错过了的美好，后者是人生旅途中权衡之后某个时候的抉择。人文学者及公众都为这段颇富哲理的名人小故事津津乐道，但数学家们却从完全不同的、概率及统计的角度解读它。麦穗问题虽然很普通，但也算得上是“随机过程”。每棵麦穗的大小都可以看作是随机的，当柏拉图在麦田中碰到一个又一个排成序列的随机变量，这不就是一个随机过程吗？

“博士相亲”

加以数学抽象之后的麦穗问题，我们再来讲一个小故事进行论述。来一起看看，如何将微积分的基本概念用于分析随机过程。

有这样一位博士，他精通数学，小有成就，但有一老大难问题尚未解决：他一直没有交上女朋友。于是，他奉母命和100位佳丽相亲。博士经过严格的数学论证，终于赢得美人归。

这里还需加上一段话，描述博士母亲设定的条件。母亲要求他15天内与这100位佳丽见面，每位佳丽只能见一次面，见过一个佳丽之后给出要不要继续相处的答案。
如果“不要”，则以后再无机会再和该女子见面；如果答案是“要”，相亲便到此结束。看到这里，你已经能领会到“博士相亲”与“麦穗问题”本质上是一致的了。那么，对于这种“一锤定音”的要求，博士的“最佳策略”又是怎么样的呢？既然是“最佳”，那应该用得上微积分中的最优化、求极值的技巧吧。我们先看看，博士是如何建造这个问题的数学模型的。这看起来是个概率的问题。假设，按照博士心中对于“理想型”的标准，他将100个女孩从1到100编上号，“#1”是最符合的，然后，“#2”、“#3”……博士并不知道当时每一次面试的女孩是多少号。这些号码随机地分布在博士安排的另一个相亲序列(1，2，3，…，r，…，i，…，n)中。博士的目的就是要寻找一种策略，使得这“一锤定音”定在“#1”的概率最高。

图1 博士相亲的“最佳策略”博士可以有好多种方法做这件事。比如说，他可以想得简单一点，预先随意认定一个数字r(比如将r固定为等于20)，当他面试到第r个人的时候，就定下来算了。这时候，因为r是100中挑出来的任意一个，所以，这个人是“#1”的概率应该是1/100。这种简单策略的概率很小，不是一个好办法。那么，将上面的方法做点修正吧: 仍然选择一个数字(比如r=20)，但这次的策略是: 他从第20个人开始认真考察，将后面的面试者与前面面试过的所有人加以比较。比如说，如果博士觉得这第20个女孩比前面19个人都好，那便可以“见好就收”。否则，他将继续与第21个女孩见面，将她与前面20人相比较；如果不如前面的，继续面试第22个，将她与前面21人相比较……如此继续下去，直到见到他最心仪的女孩为止。总结一下策略的基本思想: 对开始的r-1个面试者，答复都是“不要”，直到第r个人开始，才认真考虑。如果从r开始面试到第i个人的时候，觉得这是一个比前面的人都要更中意的人，便决定说“要”，从而停止相亲。图1中还标出了一个“临时最佳者”，这和实际上隐藏着的排行榜中的“#1”是不同的。“临时最佳者”指的是博士一个一个相亲之后到达某个时刻所看到的最心仪的佳丽，是随着博士已经见过的人数的增加而变化的。这里便有了一个问题: 对100个人而言，到底前面应该“忽略”掉多少个人，才是最佳的呢？也就是说，对n个女孩，r应该等于多大，才能使得最终被选定的那个面试者，是“#1”的概率最大？r太小了当然不好，比如说，如果令r=2，那就是说，只忽略第一个，如果第二个比第一个好的话，就定下了第二个。当然也可能继续下去，但很有可能使你的决定下得太快了。r太大显然也不行，比如说令r=99，那就是说，从第99个人才开始比较。如此办法，因为忽略的人数太多，当然，“#1”被忽略掉的可能性也非常大，见了了这么多的人，选出#1的概率只是大约为2/100而已。也许，应该忽略掉一半，从中点开始？也许，这个数k符合黄金分割原则: 0.618？也许与另外某个有名的数学常数(π或e)有关？然而，这都是一些缺乏论据的主观猜测，还是让数学来说话吧。

我们首先粗略地考察一下，如果使用这种方法的话，对某个给定的r，应该如何估算最后选中“#1”的概率P(r)。对于给定的r，忽略了前面的r-1个佳丽之后，从第r个到第n个佳丽都有被选中的可能性。
因此，在图1下方的公式中，这个总概率P(r)被表示成所有的P(i)之和。这里的i从r到n逐一变化，而P(i)则是选中第i个佳丽的可能性(概率)乘以这个佳丽是“#1”的可能性。选中第i个佳丽的可能性是多少？取决于第i个佳丽被选中的条件，那应该是当且仅当第i个佳丽比前面i-1个都要更好，而且前面的人尚未被选中的情形下才会发生。也可以说，第i个佳丽被选中，当且仅当第i个佳丽比之前的“临时最佳者”更好，并且这个临时最佳者是在最开始被忽略的r-1个佳丽之中。因为如果这个临时最佳者是在从r到i之间的话，她被选中了，然后就停止了“相亲过程”。此外，这第i个佳丽是“#1”的可能性是多少呢？实际上，按照等概率原理，每个佳丽是“#1”的可能性是一样的，都是1/n。我们便得到了图1所示的选中“#1”的概率公式。从公式可知，选中“#1”的概率是博士策略中开始认真考虑的那个点r的函数。你不妨试试在公式中代入不同的n及不同r的数值，可以得到相应情况下的Pn(r)。比如说，我们前面所举的当n=100时候的两种情形: P100(2)大约等于6/100；P100 (99)大约等于2/100。

图2 相亲问题中n=100时的概率曲线(a) 概率P(r)的离散函数(n=100)；(b) 概率P(x)的连续函数下面问题就是要解决: r取什么数值，才能使得Pn (r)最大？如果我们按照图2中的公式计算出当n=100时，不同r所对应的概率数值，比如令r分别为2，8，12，22，…，将计算结果画在Pn (r)图上，如图2（a）所示。我们可以将这些离散点连接起来，成为一条连续曲线，然后估计出最大值出现在哪一个点r。这是求得P(r)最大值的一种实验方法。
然而，我们更感兴趣从理论上分析更为一般的问题，那就要用到微积分了。如果能给随机变量建立一套类似于普通微积分的理论，让我们能够像对普通变量做微积分那样对随机变量做微积分就好了。在普通微积分里面，最基本的理论基础是“收敛”和“极限”的概念，所有其他的概念都是基于这两个基本概念的。对于随机过程的微积分，在数学家们建立了基于实分析和测度论的概率论体系之后，就可以像当初发展普通微积分那样先建立“收敛”和“极限”这两个概念。与普通数学分析不同的是，现在我们打交道的是随机变量，比以前的普通变量要复杂得多，相应建立起来的“收敛”和“极限”的概念也要复杂得多。在随机微积分中的积分变量是随机过程，比如说无规行走。无规行走是时间的一个函数，却有一个特殊的性质: 处处连续但是处处不可导，正是这个特殊的性质使得随机微积分与普通微积分大不相同。实际上，随机微积分一般都既牵涉到普通变量时间t，又牵涉到随机变量W(t)。所以，进行随机微积分时，如果碰到跟t有关的部分就用普通微积分的法则，而碰到跟W(t)有关的部分时就使用随机微积分的法则。首先，我们想一个办法将Pn (r)变成r的连续函数。因为只有对连续函数，才能应用微积分。为了达到这个目的，我们分别用连续变量x=r/n、t=i/n来替代原来公式中的离散变量r和i。此外，最好使得研究的问题与n无关。因此，我们考虑n比较大的情形。n趋近于无穷大时，1/n是无穷小量，可用微分量dt表示，而公式中的求和则用积分代替。如此一来，图1中P(r)的表达式对应于连续函数P(x):

图2（b）画的是连续函数P(x) (=-xlnx)的曲线。这里的log和ln都是表示自然对数，即以欧拉常数e为基底的对数函数。由图可见，函数在位于x等于0.4左右的地方，有一个极大值。

从微积分学的角度看，光滑曲线极大值所在的点是函数的导数为零的点，函数在这个点具有水平的切线。但是导数为零，不一定对应的都是函数值为极大，而是有三种不同的情况: 极大、极小、既非极大也非极小。用该点二阶导数的符号，可以区别这三种情形，见图3。

图3 函数的极值处导数为零所以，令公式P（x）对x的导数为零便能得到函数的极值点: x=1/e=0.36。这个点概率函数P(x)的值也等于1/e，大约为0.36。将上面的数值用于相亲问题。当n=100的时候，得到r=36。也就是说，在傻博士的面试过程中，他应该从第36位家里开始认真比较，只要看见第一个优于前面所有人的，便选定她！利用这样的策略，博士选到“#1”的可能性是36%，大于1/3。这个概率比起前面所举的几种情况的概率1/100、6/100等，要大多了。相亲问题的策略还可以因不同情况有不同的修改。比如说，也许博士会换另一种思路考虑这个问题。他想，为什么一定只考虑“#1”的概率呢？实际上，“#2”也可能是他的真命天女，不一定比“#1”差多少。于是，他便将他原来的方法进行了一点修改。一开始的策略和原来一样，首先不考虑r-1个佳丽。然后从第r个开始比较，等候出现比之前的都好的临时第一名。不过，在第r个人之后，如果这个临时第一名久久不露面的话，博士便设置了另外一个数字s，从第s个女孩开始，既考虑“#1”，也考虑“#2”。我们仍然可以使用与选择第一佳丽的策略时所用的类似的分析方法，首先推导出用此策略选出“#1”或“#2”的离散形式的概率P(r,s)。这时候的概率是两个变量r和s的函数。然后，也利用之前的方法，将这个概率函数写成一个两变量的连续函数。为此，我们假设从离散变量r、s到连续变量x、y的变换公式为：

然后，考虑n趋近于无穷大的情形，可以得到相应的连续概率函数为

式P（x，y）是两个变量的函数，其函数随x和y的变化可用一个三维空间中的二维曲面表示，如图4所示。求这个函数的极值，可以令P(x,y)对x和y的偏导数为0。解出上面的方程便能得到这种新策略下相亲问题的解: 当x=0.347，y=0.667时，概率函数P(x,y)有极大值，等于0.574。

图4 二维概率分布函数将上面的数值应用到相亲的具体情况，即n=100时，可以得到r=35，s=67。以上的r和s是四舍五入的结果，因为它们必须是整数。因此，博士如果采取这种“选择#1或#2”的策略的话，成功的概率大约是57%，比“选择#1”的成功概率(36/100)又高出了许多。这个结果充分体现了数学的威力。