人们怎么总跟质数过不去？

文章来源：中科院物理所

作者：Patrick Honner

如果你一直关注数学新闻，你就会知道35岁的数论家詹姆斯·梅纳德（James Maynard）获得了菲尔兹奖——数学家的最高荣誉。据新闻报道，梅纳德喜欢的数学问题“简单到足以向高中生解释，但却足以难倒数学家几个世纪”，其中一个简单的问题是：当你沿着数轴移动时，总会有靠在一起的质数吗？

你可能已经注意到数学家对质数很着迷。是什么吸引了他们？也许是因为质数体现了数学中一些最基本的结构和奥秘。质数描绘了乘法的世界，它允许我们用唯一的因式分解来分类每一个数字。但是，即使人类从乘法诞生之初就开始研究质数，我们仍然不确定质数会出现在哪里，它们的分布范围有多广，或者它们的距离有多近。就我们所知，质数的分布没有简单的规律。

我们对这些基本概念的迷恋导致了数百种不同类型质数的发明或发现：梅森质数(2ⁿ-1形式的质数)，平衡质数(两个相邻质数的平均值)，索菲·日尔曼质数（p是质数同时2p + 1也是质数），如此等等。

人们对这些特殊质数的兴趣源于对数字的研究和新发现的获得。“数位敏感质数(digitally delicate primes)”也是如此。最近，数位敏感质数产生了一些关于最基本问题的惊人结果：某些类型质数的出现频率到底有多少？

为了理解这个问题，让我们从数学爱好者了解到的第一个有趣的事实开始：质数有无穷多个。两千年前欧几里得用数学史上最著名的反证法证明了这一点。他首先假设质数只有有限的数量，并把所有的n个质数想象成一个列表：p1， p2， p3， …， pn.然后他做了一个巧妙的处理：他想到了这个数字q=p1×p2×p3×…×pn+1。

注意q不可能在上面的质数列表中，因为它比列表中所有的数都大。所以如果存在一个有限的质数列表，那么q就不是质数。但如果q不是质数，那么它一定能被除它和1以外的数整除。反过来，这意味着q一定能被列表中的某个质数整除，但由于q的构造方式，q除以链表上的任何数，余数都是1。显然q既不是质数也不能被任何质数整除，出现这样矛盾的原因是假设质数数量有限。因此，为了避免这个矛盾，实际上必须有无穷多个质数。

考虑到质数有无穷多个，你可能会认为所有种类的质数都很容易找到，但数学家接下来要学习的一件事是质数可以有多分散。一个被称为质数间隙的关于相邻质数之间间隔的简单结果，说明了一些令人惊讶的事情。

前10个质数——2、3、5、7、11、13、17、19、23和29——之中，你可以看到由一个或多个合数(不是质数的数，如4、12或27)组成的空隙。你可以通过计算其中合数的数目来测量这些间隙：例如，在2和3之间有一个尺寸为0的间隙，在3和5、5和7之间有一个尺寸为1的间隙，在7和11之间有一个尺寸为3的间隙，等等。这个列表中最大的间隙是23和29之间的5个合数——24、25、26、27和28。

现在让我们看看一个令人难以置信的结果：质数间隙可以是任意长的。这意味着存在相邻的质数，它们之间的距离是无穷远。也许同样令人难以置信的是，这个事实非常容易被证明。

我们上面已经有了一个长度为5的质数间隙。会有长度为6的吗？我们不必寻找质数表来找到这样的例子，我们可以自己构造一个。为此，我们将使用基本算术公式中使用的阶乘函数：根据定义，整数n的阶乘n!=n×(n−1)×(n−2)×…×3×2×1，例如3!= 3×2×1=6和5!=5×4×3×2×1=120。

现在让我们来构造我们想要的质数间隙。考虑以下连续的数字序列：

7!+2， 7!+3， 7!+4， 7!+5， 7!+6， 7!+7

因为7!=7×6×5×4×3×2×1，我们序列中的第一个数字，7!+2可以被2整除，你可以通过分解看出:

7!+2=7×6×5×4×3×2×1+2=2(7×6×5×4×3×1+1).

同样，第二个数字，7!+3，能被3整除，因为 :

7!+3=7×6×5×4×3×2×1+3=3(7×6×5×4×2×1+1).

同样，7!+ 4能被4整除，7!+ 5能被5整除，7 !+ 6能被6整除，还有7!+ 7 能被7整除，因此7! + 2， 7! + 3， 7! + 4， 7! + 5， 7! + 6， 7! + 7是六个连续的合数。我们的质数间隙至少是6。这种策略很容易概括。序列n!+2， n!+3， n!+4， …， n!+n是一个由n−1个连续合数组成的序列，这意味着，对于任何n，存在一个长度至少为n−1的质数间隙。

这表明存在着任意长的质数间隙，所以在自然数列表中，有一些地方离最近的质数相差了100个，1000个，甚至10亿个数字。

从这些结果中可以看出一种典型的矛盾。质数有无穷多个，而连续的质数也可以相距无穷远。更重要的是，有无限多个相邻的质数。大约10年前，张益唐的开创性工作引发了一场缩小间隙和证明孪生质数猜想的竞赛。孪生质数猜想断言，有无穷多对相差仅为2的质数。孪生质数猜想是数学中最著名的开放问题之一，詹姆斯·梅纳德（James Maynard）为证明这一难以捉摸的结果做出了自己的重大贡献。

这种矛盾也出现在最近关于所谓的数位敏感质数的研究结果中。为了了解这些数字是什么，以及它们可能出现的位置，请花点时间思考下面这个奇怪的问题：有没有一种两位数的质数，只要其中一位数有所变化，就一定会成为合数？

为了了解数位敏感，我们来试试数字23。我们知道它是个质数，但如果你改变它的个位数会怎样？20、22、24、26、28都是偶数，因此是合数；21能被3整除，25能被5整除，27能被9整除。到目前为止，一切顺利。但如果把个位换成9，得到29，仍然是质数。所以23不是我们要找的质数。

37呢？正如我们上面看到的，我们不需要检查偶数或以5结尾的数，所以我们只检查31、33和39。31也是质数，所以37也不行。

这样的数字存在吗？答案是肯定的，但我们必须一直算到97才能找到它：97是质数，但91(能被7整除)、93(能被3整除)和99(也能被3整除)都是合数，除此之外就是偶数和95。

如果你把质数的任何一个数字换成其他数字，它就不再是质数，那么这个质数就是“敏感的”。到目前为止，我们看到97在个位数字上很敏感——因为改变那个数字总是产生合数——但是97满足数位敏感的全部标准吗？答案是否定的，因为如果把十位数字改成1，得到17，一个质数。(注意37、47和67也都是质数。)

事实上，没有两位数的数位敏感质数。下表列出了所有两位数的数字，其中质数被标记出来。

同一行中的所有数都有相同的十位，同一列中的所有数都有相同的个位。97是它所处的这一行中唯一一个带阴影的数字，这说明它在个位上很敏感，但它不是这一列的唯一质数，这意味着它在十位上不敏感。

数位敏感的两位数质数必须是其行和列中唯一的质数。如表所示，不存在这样的两位数质数。那么一个数位敏感的三位数质数呢？下面是一个类似的表格，显示了100到199之间的三位数质数的布局，其中的合数被省略了。

这里我们看到113独自占据一行，这意味着它在个位数上很敏感。但是113并不在它自己独占的一列中，所以对十位数字进行一些修改(比如将十位改为0得到103或改为6得到163)就产生了质数。由于没有一个数字独自在一行以及一列中，因此我们很快就会发现：如果你改变某个三位数的个位或十位数字，没有谁一定是合数。这意味着不可能有三位数的数位敏感质数。注意，我们甚至没有检查百位。要真正做到数位敏感，一个三位数的数字必须在三维表格中避开三个方向的质数。

数字世界中真的存在数位敏感质数吗？在数轴上越往远处质数就越稀疏，这使得它们不太可能在高维表的行和列中交叉。但更大的数字有更多的数位，每增加一个数位，成为数位敏感质数的可能性就会降低。

如果继续研究，你会发现数位敏感质数确实存在。最小的是294，001。当你改变其中一位数时，你得到的数字——比如794，001或284，001——将是合数。还有更多：接下来的几个是505447；584141；604171；971767；1062599。事实上，这是一个无穷数列。著名数学家保罗·埃尔德什（Paul Erdős）证明了数字上有无穷多个数位敏感质数。这只是关于这些奇怪数字的许多令人惊讶的结果中的第一个。

例如，埃尔德什不仅证明了有无穷多个数位敏感质数：他还证明了在任何基数下都有无穷多个数位敏感质数。因此，如果你选择用二进制、三元或十六进制来表示数字，你仍然可以找到无穷多个数位敏感质数。

数位敏感质数并不仅仅是无限的：它们在所有质数中所占的比例不为零。这意味着，如果你观察数位敏感质数的数量与所有质数数量的比率，这个分数是一个大于零的数字。用专业术语来说，所有质数的“正值的比例”在数位上是敏感的，正如菲尔兹奖得主陶哲轩(Terence Tao)在2010年证明的那样。质数本身在所有数中所占的比例并不为正，因为数轴越往外，质数就越少。然而，在这些质数中，你会继续足够频繁地发现数位敏感质数，使得数位敏感质数与总质数的数量比例保持在零以上。

也许最令人震惊的发现是2020年关于这些奇怪数字的新变化的结果。通过放宽数位的概念，数学家们重新设想了数字的表示方式：他们不再只考虑97，而是认为97前面有0：…0000000097。

每个前导零都可以被认为是一个数位，数位敏感的问题可以扩展到这些新的表示。是否存在“广义数位敏感质数”——如果你改变任何一个数位，包括前导的任何一个零，质数总是成为合数？由于数学家Michael Filaseta和Jeremiah Southwick的工作，我们惊奇地知道答案是肯定的。不仅存在广义数位敏感质数，而且它们的数量也是无穷无尽的。

质数构成了一串无穷无尽的数学谜题，供专业人士和爱好者们玩味。我们可能永远无法解开它们所有的秘密，但你可以指望数学家不断地发现和发明新的质数种类来探索。

练习

1. 2和101之间最大的质数间隙是多少？

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最大的间隙在质数89和97之间。一般来说，当你沿着数轴往外走的时候，间隙会变大，当然孪生质数猜想认为无论你往外走多远，总有离得很近的质数。还请注意，在本专栏中使用的构造质数间隙的方法是多么低效：要构造如此大小的质数间隙，你将从数字8!+2=40322开始。

2. 为了证明有无穷多个质数，欧几里得假设有有限多个质数p1， p2， p3， …， pn，然后证明q=p1×p2×p3×…×pn+1不能被列表上的任何质数整除。这不是意味着q一定是质数吗？

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并不是。考虑前六个质数：2、3、5、7、11和13。在这种情况下，数字q将是2×3×5×7×11×13+1= 30031。它不能被2、3、5、7、11或13整除，但它不是质数：它可以分解成30031 =59×509。注意它有质数因子，但它们都比前6个质数大。

3.数论中一个著名的结果是，对于任意正整数k，k到2k(包括)之间总是有至少一个质数。这很难证明，但很容易证明k和q之间总是有一个质数q=p1×p2×p3×…×pn+1 (包括)，其中p1， p2， p3， …， pn是所有小于等于k的质数。证明它。

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如果k或q是质数，我们就证明完了。如果q不是质数，它是合数，也就是说它能被某个质数整除，但我们已经知道它不能被前n个质数整除。因此它必须能被一个大于前n个质数的质数整除；因为这些都是小于k的质数，所以这个质数一定大于k，但这个质数能除q，所以它一定小于q，所以k和q之间一定有一个质数。

4. 你能找到最小的在个位和十位数上敏感的质数吗？这意味着改变个位或十位数字总是会产生合数。(你可能需要编写一个计算机程序来做到这一点!)

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第一个满足这个性质的质数是2459，因为2451、2453和2457都是合数(满足个位数敏感标准)，2409、2419、2429、2439、2449、2469、2479、2489和2499都是合数(满足十位数字敏感标准)。然而，2459并不是数位敏感质数，因为2659是质数，所以一旦你开始考虑百位数字，它就失效了。

挑战问题：用二进制表示时，你能找到最小的数位敏感质数吗？回想一下，在二进制或以2为基数的情况下，唯一的数字是0和1，每个位值代表2的幂。例如，8表示为1000₂，因为8=1×2³+0×2²+0×2¹+0×2⁰，而7以2为基数表示为111₂，因为7=1×2²+1×2¹+1×2⁰。

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127=1111111₂是数位敏感的，因为126=1111110₂， 125=1111101₂， 123=1111011₂， 119=1110111₂， 111=1101111₂， 95=1011111₂，63=0111111₂都是合数。

作者：Patrick Honner

翻译：CC

审校：藏痴

原文标题：How Can Infinitely Many Primes Be Infinitely Far Apart?

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翻译内容仅代表作者观点

不代表中科院物理所立场

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编辑：藏痴

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编辑：了之