宇宙的基础是对称：群论在物理的应用

作者：Eugene Wang

物理学家从最基本的层面研究宇宙是如何运作的。如果你问物理学家：是什么让宇宙运转起来？物理理论的核心是什么？常见的答案之一是对称性。

对称性是物理学的核心，它似乎是宇宙的基本属性，并导致了一些深刻的定律。每个对称都会导致一个守恒量， 例如导致能量守恒、动量守恒和电荷守恒。它甚至会导致基本力的产生，如电磁力、弱力和强力。那么，什么是对称？它在物理学中如何发挥作用？

什么是对称

我们已经在小学的一堂课上学习过对称性。考虑一个等边三角形，如果我们在其任意一条中线处放置一个镜子，那么另一半和镜子中的像连起来也会是一个相同的等边三角形，这就是等边三角形的一种对称。此外，我们还可以执行另外一种操作，将它绕着形心旋转120度，会得到原始的等边三角形，这是等边三角形的另一种对称。我们如果把这些对称都列出来，那么我们可以得到六种排列方式。

事实上，我们刚才谈到的是一个复杂东西的简单例子，即群论。群论是对称背后的数学。等边三角形的对称性背后的数学称为3次二面体群，其中3是指具有三个角的三角形。我们也可以说它是6阶的，因为有6个排列，也称为群元素。再举一个例子，如果我们考虑正方形的对称性，其背后的群论将是4次二面体群。

U(1)

如果多边形的边数是无限的呢？我们得到一个圆。一个半径为r的圆在笛卡尔坐标下可以这样表示：x=rcosΦ，y=rsinΦ。如果使用极坐标来描述，我们就可以使用复数来表示圆，可以只用一个方程来表达：z=re^iΦ。如果我们选择半径为1，那么事情会变得更加简单，如下图。

这个单一的复数z可以描述半径为1的圆上的任何点，我们要做的就是将其中一个轴更改为虚数轴，所以圆在复平面上。请注意，圆上的点由完全由角度 Φ决定。事实证明，有一个对称群与这个半径为1的复数圆相关联，它被称为U(1)群。该群的元素是围绕圆的所有无限可能的角度Φ。所以我们可以将U(1) 群的变换形式写成如下图所示，其中n是生成器，n代表我们围绕圆旋转了多少。

我们在哪里见过物理学中的复数？在量子力学中，它建立在复数之上。让我们尝试通过这个简单的变换来应用绕圆移动的对称性。为了描述作为物质粒子的费米子，我们需要一些运动方程来描述它的行为。为此，我们可以使用狄拉克方程。

U(1)在物理的应用

在狄拉克方程中，L是拉格朗日量，它只是粒子动能和势能之间的差。ψ是物质粒子的波函数，ψ上面一杠是等效反物质粒子的波函数。括号的第一部分描述了粒子在时空中的运动，第二部分m是质量。所以，这个方程描述了一些质量为m的物质粒子在空间中的移动。

接下来就是群论的用武之地，如下图所示。如果存在U(1)对称性，这意味着如果我们将变换应用于方程，那么拉格朗日量不会改变。问题是，当我们这样做时，拉格朗日量确实发生了变化，所以这告诉我们它没有U(1)对称性。然而，如果我们修改方程，在理论中增加一个新的量子场，即所谓的规范场，那么我们就可以有一个对称性。规范场的另一个名称是力，因此当我们向方程中添加力时，我们会发现存在对称性。然后我们的理论就起作用了，并且具有U(1)对称变换。

那么我们刚刚添加的这个力是什么？事实证明，添加到方程中的这个新术语描述了电磁力。这里的字母“e”是电荷，A_μ代表光子场。这告诉我们，光子是介导电磁力的粒子。因此，虽然我们在狄拉克的初始方程中有电子，但没有相互作用。而修改后的方程里有一个电子和电子相互作用的方程，它是由光子场介导。完整的方程如下所示，其中前面这一项已经在前面文章中介绍过。

我们采用了费米子理论并要求对 U(1) 进行变换，添加额外的数学术语以使对称起作用，为我们提供了由光子在费米子之间介导的电磁力，这就是电磁力理论，也称为量子电动力学或 QED。

其他群的简单介绍

我们仅仅通过一个简单的对称性就得到了整个电磁学理论。事实证明 ，标准模型的构建是为了这些对称性或特殊酉群：U(1)、SU(2) 和 SU(3)。每个组都导致对称性，从而产生守恒定律和基本力。正如我们所见，U(1)给了我们电磁力。而SU(2)为我们提供了弱力，SU(3)我们提供了强力。换句话说，标准模型所尊重的三个对称群给了我们宇宙的三种基本力量。

我们可以为SU(2)和SU(3)做与U(1)类似的操作，但数学更复杂。U(1)包含一个生成器，与之相关联的玻色子也只有一个：光子。事实证明，一个规范群的每个生成器都对应一个力中介粒子。所以对于产生弱力的SU(2)群，有3个生成器，因此它总共有3个玻色子：W+、W- 和Z玻色子。类似地SU(3)具有8 个生成器，这种强力是由8 种不同颜色电荷组合的胶子介导的。