如何让两本书如胶似漆难舍难分？

文章来源：大学物理学

原文作者：薛德堡

你可能有这种体验，当你赶着出门时，往常能随手带上的门锁突然不听话了，用力再带，还是不行！它跟你杠上了。无奈，你只好按下锁舌才把门带上。

这个看起来很平常的事情，背后的原因是什么呢？可能你无暇思考也不感兴趣。然而，与之相关的另一件事，你可能听说过且饶有兴趣，它就是关于两本书交错相叠后能抵抗巨大的拉力的那件事。

这个实验很好做。按如下图所示，将两本厚书按页交错叠在一起，然后用力往两边拉。结果发现：你可能会拉开它们，但非常费力，但也可能根本无法拉开！

这件事早在几百年前就引起人们的强烈兴趣，人们陆续给出了多种解释。很多人为此尝试各种实验并发表专题研究论文。

2011年，美国发现频道的MythBusters做了一个验证实验。他们把两本厚度高达800页的书一页一页的交叠好，然后尝试拉开两本书。

他们先尝试了二人对拉，当然失败了。

于是他们用高强度的木板夹住书脊，并连上抗拉力极强的绳子，然后找了一些人一起拉，结果也无法拉开。

接着他们用铁板把书脊固定，连上很粗的铁链，并尝试用汽车拉，可还是失败！

直到最后，他们使用了一辆装甲运兵车和一辆轻型坦克对拉，才最终将两本书分开。

2016年，来自法国的研究人员就此问题展开研究。在他们的实验中，两本页面交错的电话本之间的静摩擦力，竟足以吊起一辆汽车！

他们的研究表明，系统所能承受的拉力由纸张数量、厚度以及重叠区域的宽度决定，并随着交叠的书页数量增大而急剧增大。他们的研究结果发表在国际物理顶级期刊PHYSICAL REVIEW LETTERS上[1]。

那么，这背后起作用的物理机制到底是什么呢？

有人说，培根不是说过嘛——知识就是力量！不得不说，这个机灵的确抖得还算可以滴！

正经点说，这背后的原因有几个方面，其中最主要是摩擦自锁作用，下面先来讲讲什么是摩擦自锁。

根据库仑模型，最大静摩擦力  与正压力  的合力与正压力之间的夹角的正切值等于静摩擦系数  ，如下图所示。

这个与  对应的特殊角被称之为摩擦角，用  表示，即 很显然，当重力  和拉力  的合力与与竖直方向的夹角  大于  时，拉力  将超过最大静摩擦力  ，物体被拉动；反之，物体将始终保持静止。

更一般的，若把重力和拉力这些主动作用的力合在一起，称之为主动力  ，那么对一个具有确定的静摩擦系数  的平面来说，当主动力与平面的法线夹角  满足 

时，物体将始终保持静止。如下图所示，只要主动力的方向不超出圆锥面，物体将一直保持静止。

如果用更直观的语言解释就是：虽然主动力不断增加，但正压力也在随之增加，使得最大静摩擦力始终不被超过，从而维持了平衡。

打个比方，有个女士很能花钱，她的朋友都觉得她可能会很快把她劳工的家底败完。可是她劳工变压力为动力，赚钱的能力是随着她花钱的能力增长，而她也恰到好处的保持花钱增长率低于劳工的赚钱增长率，结果，她的哪些姐妹仍旧看到她家还是越来越有钱。

所以，花钱就像摩擦力一样，只要保持在财富角之内，你的财富能被锁定为只增加而不减少。

空说无凭，下面再举一些物理中更具体的例子。

第一个是关于斜面上的摩擦力的。如下图所示，设滑块与斜面间的静摩擦系数为  ，那么斜面的倾角  如何取值时，能确保滑块不滑下？

重力是唯一的主动力，只要它与斜面的法线的夹角  满不超过  即可，而  正好等于斜面的倾角  ，所以只要满足 不管那个滑块多重，都不会滑下。但若不满足这个条件，它必定会滑下来。

日常生活中有这种体验：别人在斜面上放了一摞书安安稳稳的屹立不倒，老子放张纸都放不稳，不由得怀疑老天太欺负人了！

你还有这样的经验：当你沿着斜向下推水平地面上的物体，如果力与竖直方向夹角  太小，例如  ，则无论你用多大的蛮力，物体都不动。

另一个经验是，楔子可以打入，但一旦打入了，就不担心会被挤出来。如下图所示，黄色的楔子插入后，虽然受到上方的压力，但不会被挤出。

因为对水平推力  来说，作为主动力，它与斜面法线的夹角大于摩擦角，所以导致楔子能动起来；而对竖直力  来说，它与斜面法线的夹角小于摩擦角，无论它多大，都没法推动楔子。

看到这里，你可能会想：楔子虽然不会被挤出来，但是可以被拔出来。的确，钉子都可以被拉出来的，但你绝对没见过钉子被挤出来的事。

锐角之所以叫锐角，就是因为它施加给障碍物的力必定在摩擦角之外，所以能推进。而钝角之所以杀不进去，因为发生了摩擦自锁。

难怪，快刀的刃总是又薄又滑。不过，非洲却有一种刀，钝到根本没法用，因为非洲人只是把它当作一种货币等价物。

楔子在我国古代木建筑中很常见。例如北岳恒山脚下的悬空寺，就是通过在石壁上插入巨大的木楔而建立起来的。

那些木楔利用了膨胀螺丝钉原理，其本质上就是摩擦自锁的物理机制。

膨胀木楔的原理（引自星球研究所[2]）

至于本文开头提到的锁舌压不进去的事，背后也是类似的原因：发生了摩擦自锁。

下面回到第01节提到的交错书页之间的摩擦力的问题。

到底什么原因导致那些交叠的纸张变得如此强悍呢？

先来看看，两本书的页面交错相叠而形成的结构有什么特点？一般情况下，大概像这个样子：

两书页面交错后，每个书页沿水平方向有三个区域，靠近书脊的一小段是平直的，交叠的部分也是平直的，这两者之间是一段倾斜的非交叠区域，设其宽度为  。

为了便于分析和计算，将书的几个参数给定。设单个书页的厚度为  ，两本书的页数都为  ，每本书的厚度都为  。

很显然，书页之间的力源于相互交叠的纸面间的静摩擦力。设纸面间的摩擦系数确定，只需研究页面间的压力就够了。那么，有哪些因素对这些压力产生贡献呢？

首先，是页面自身重力的影响。

一张单独的纸，自然状态是平的。把它放在桌面上，压力仅仅就由它的重量决定，这当然是毫不足道的。因此你可能会想：仅凭重力导致的压力来产生摩擦力，那似乎不可能太大。

是这样的吗？

你忽略了一个细节，每两个交错的书页之间都存在摩擦力！对足够厚的书来说，这种页面重力的所导致的摩擦力会积累一个很大的值。

我们简单的分析一下。

设有两本书都是  页，每页纸重量为  ，设静摩擦系数为  。则交错之后，从上往下，每两个页面间的最大摩擦力依次为： 因此，这种由重力导致的最大静摩擦力记为参照一包70g的A4复印纸(500张)的质量是2.2kg，假设一本书页数也为  页，质量  kg，设摩擦系数为0.3，则上述最大摩擦力为6461.53牛，这相当于1200多斤的力，吊起一只大肥猪卓卓有余。

可见，书页自身重力所导致的摩擦力远比你想象的大！

不过，这个值总归是有限的，并且当书竖直方向吊起来时，重力的影响就不存在了。所以，重力肯定不是起决定性作用的因素。

其次，是页面弯曲的影响。

假设地面上有一根铁丝，现在你将其一端用脚踩住，然后抬起另一端，你会感受到一股反抗的力。

这种来自于形变的反抗力是普遍性的，对柔弱的纸张来说，也同样存在。

书页本来是平直的，此时它们是最舒服的。当你把它们交错相叠，这些页面发生了形变，它必然会产生一种反抗的弹力。这些力积累在一起，也会导致交叠部分页面之间的压力增加。

但这部分的计算需要利用弹性力学，比较复杂。这里就不做仔细推导。简单的说，这部分导致的总的压力与纸张的厚度  、书的页数  以及纸张的弹性性质  （刚度）成正比。将这部分压力所导致的最大静摩擦力记作其中  是一个与页数  有关的数。

同样，这部分摩擦力也是有限的，所以它也不是那个起决定作用的因素。

第三个因素，也就是真正起决定作用的因素，是沿着书脊往外的拉力所导致的压力。

设书脊处受拉力为  ，而两本书的总页数为  。故从下往上数的第  页上分摊的水平拉力为 

由于页面处于平衡状态，所以页在切斜段的拉力应为 此力沿竖直向下的分量为 任意页面要受到在它之上的全部页面施加的这个力分量，考虑到另一本书页同样如此，因此某第  页受到的下压力为 

将此压力  对所有的书页求和，得到总的压力  。由于计算非常复杂，这里就不仔细推了。简单的说，由这部分导致的最大静摩擦力最终可表示为 

书被拉动的条件为  ，即 很明显，若上式中  的系数为负值或者零，这个条件就无法满足，也就是无法被拉动。

因此，只要满足 无论拉力多大，拉力都不会超过最大静摩擦力，书页产生摩擦自锁，无法拉开。

所以，书页摩擦自锁的条件是 根据知乎用户Huxley的计算结果，当  时，上述条件近似为 其中  为倾斜非交叠区域的宽度，  ，为书的厚度。由此可见，越是厚书，且倾斜部分越窄，越容易产生摩擦自锁。

上述分析考虑了重力，若书竖直吊起，重力的影响就没有了，但起决定作用的依然是拉力  的系数，所以上述分析结果依然成立。

好，现在计算一个例子。

设书页的倾斜的非交叠宽度为10cm，每本书的页数为100页，厚度为1cm，则得满足自锁条件的  应为 这个摩擦系数的要求是很容易满足的。这就解释了，为什么你随便拿一本书，只要耐心的把页面交叠好，实验都会很成功的。

温馨提醒：有人娱乐惯了，图省事像这样来做，实验失败可能性高！

至此终于明白，书页交错产生的摩擦力为什么这么大？因为发生了摩擦自锁。只要书页不被拉断，你的拉力越大，摩擦力也跟着同步增大，且总是比拉力大。

可以想象，这每一张纸就像一个长长的楔子，直插入对方深处。一个楔子也许很薄弱，即使拉不出也可能拉断，但数百个楔子，你可就对付不了啦！

参考文献

1. https://doi.org/10.1103/PhysRevLett.116.015502
   

2. https://baijiahao.baidu.com/s?id=1639930388412359613
   

3. https://www.zhihu.com/question/30567010/answer/1310750980

---

编辑：鹿定辞