用高中生能懂的数学知识推导黑洞的霍金温度公式

文章来源：万象经验

原文作者：Eugene Wang

1974年，史蒂芬·霍金通过将广义相对论与量子场论的某些元素相结合，证明了黑洞确实会发生辐射，导致它们慢慢蒸发并最终消失。对于我们来说，黑洞物理学是出了名的困难，需要广义相对论和量子场论的高级知识。那么，是否有可能通过高中数学就可以确定黑洞的特性呢？答案是肯定的。事实上，我们的策略很简单，使用量纲分析在不做完整计算的情况下猜测黑洞方程的结构。接下来，我们将关注长度、时间、质量和温度的基本量纲，它们分别用L、T、M和θ表示。

为了理解我们所说的量纲分析，让我们看一个简单的例子。物理学方程的伟大之处在于，它们提供了方程中出现的属性的量纲之间的关系。例如，考虑速度等于距离除以时间的方程，为了得到速度的量纲，我们只需要参考定义方程，它告诉我们速度的量纲等于距离的量纲除以时间的量纲，用等式来表达就是

 速度距离时间 

基本常数的量纲

光速是最著名的基本常数之一，它和上述速度一样具有同样的量纲。从爱因斯坦的质能方程我们还可以得到能量的量纲。

  

根据万有引力公式的变体，我们可以得到引力常数G的量纲。

  

  

运用同样的技巧，我们可以得到约化普朗克常数的量纲。

 ω 

 ω 

最后与热力学有关的常数

  

 θ 

构建方程

有了这些基本常数的量纲，我们可以开始构建黑洞的方程了，不过这里有几条规则。当速度很快时，要加入常数c；当质量很大时，应该加入引力常数G；当涉及到量子时，要加入约化普朗克常数；当涉及到温度时，要加入玻尔兹曼常数KB。

接下来，我们以史瓦西黑洞为例，用量纲分析求解它的黑洞视界面积。首先，黑洞的质量是巨大的，所以方程应该包含引力常数G和质量M；其次，视界的逃逸速度等于光速，我们应该也包含光速c。因此，我们猜测的方程如下。

αβγ 

 αβγ 

 αβγ 

 αβαβαγ 

由此3α+β=2；-2α-β=0；-α+γ=0。得到α=2，β=-4，γ=-2。将这些值代入公式我们得到：

  

实际上，我们知道史瓦西黑洞视界面积等于：

 ππ 

黑洞的熵

当质量落入黑洞时，黑洞的视界面积总是增加。1972年，以色列物理学家雅各布·贝肯斯坦提出，给黑洞赋予一个熵确实有意义，并且黑洞的熵S与黑洞的视界面积A成正比，并且比例常数为η。

 η 

为了找出η的值，我们需要运用熵的热力学定义，dS=dQ/T，因此S的量纲为

 θ 

 ηθ 

此外，我们知道η是一个常数，因此它强烈暗示我们η可以由前面提到的基本常数构成。于是，我们利用同样的步骤，猜测η的组成是：

 ηαβγδ 

得到α=-1，β=-1，γ=3，δ=1。于是，我们有：

  

1974年，霍金利用广义相对论和量子场论的微妙而复杂的组合，证明了熵方程的精确形式包含了恰好四分之一的数值因子，再把黑洞面积公式代入，所以现在黑洞熵的表达式是：

 π 

黑洞的温度

1974年 斯蒂芬·霍金发现了一个关于宇宙的惊人事实，黑洞会发出微弱的辐射，导致它们最终蒸发并消失。由于辐射似乎是来源于黑洞视界周围的区域，因此应该给黑洞指定一个温度，这称为霍金温度。

为了计算霍金温度，我们要先从热力学第一定律dE=dQ+dW开始。首先dW=0，然后结合熵的定义dS=dQ/T，可以得到T=dE/dS。黑洞的能量全部来源于质量，我们就可以利用质能方程得到：

  

根据前面求得的黑洞熵的公式，我们可以得到下面的结果：

 π 

因此，我们能得到黑洞的霍金温度公式为：

 π 

从这个公式我们能看出，黑洞的质量越大，它的温度就越低。

如果大家对此感兴趣，我们可以继续运用量纲分析，分析霍金辐射的功率等更进一步的问题。

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编辑：木心