剪切与转动惯性对超声波特征的效应探讨

摘要：  超声波电机是利用压电陶瓷的逆压电效应，并激发定子弹性体的超声振动而工作的，定子振动是超声波电机的动力源，也是超声波电机区别于一般电磁电机的主要特征。通过超声波电机振动特性的分析与计算，可以在设计阶段便预知电机的动态特性。因而振动特性的分析计算对超声波电机的优化设计而言是十分重要的。

超声波电机是利用压电陶瓷的逆压电效应，并激发定子弹性体的超声振动而工作的，定子振动是超声波电机的动力源，也是超声波电机区别于一般电磁电机的主要特征。通过超声波电机振动特性的分析与计算，可以在设计阶段便预知电机的动态特性。因而振动特性的分析计算对超声波电机的优化设计而言是十分重要的。

有关超声波电机振动分析已有许多研究。Hagood等建立了行波型超声波电机分析模型;Lebrun等研究了一种基于非轴对称振动模态的圆盘超声波电机，对非轴对称振动圆盘的模态进行了分析;Wen等对研制的薄圆盘型超声波电机的定转子振动(GZ系列电磁振动给料机用途及特点)模态进行了分析，并得出定转子的振动模态应分别设计;用有限元法分析了环形压电马达定子的振动，并给出了振动模态;Koc等用ATILA有限元分析软件分析了有径向模态和第二弯曲模态激发旋转运动的内嵌式压电马达定子的共振模态;利用有限元法分析计算了行波接触型超声波电机定子振动特性。

但上述研究均集中在采用有限元法仿真电机振动体的振动特性。将三维问题简化为一维问题，用等效梁的弯曲振动代替定子环振动的方法对超声波电机的振动进行解析，但都没有考虑剪切变形与转动惯量对超声波电机振动特性的影响。

本文从梁的振动基本理论出发，寻求适合不同结构超声波电机的振动理论与振动方程，分析了不同结构超声波电机的振动特点、固有频率及主振型，并重点分析了剪切变形与转动惯量对超声波电机振动特性的影响。

1超声波电机定子的弯曲振动方程

环形超声波电机定子的弯曲振动。

可见，尽管定子环的内圈有弹性支撑，设计合理时，定子环作弯曲振动时可作为自由振动的环来处理。

忽略曲率效应，可将定子环进一步简化为一个两端简支的梁来分析。

柱体超声波电机的振动体作弯曲振动时，相当于一个两端都自由的梁，因而也可以简化为两端简支的梁来分析其振动特性。[#page#]

11伯努利欧拉梁振动方程

基于初等理论假定的伯努利欧拉梁(BernoulliEulerbeam)的自由振动方程为2x2EI2yx2 A2yt2=0(1)式中，为梁的密度;A为梁的横截面积;E为材料弹性模量;I为截面对中性轴的惯性矩。

等截面粱的主振型为y(x，t)=(C1cosx C2sinx C3chx C4shx)bsin(t )(2)式中，常数C1，C2，C3，C4及固有频率由边界条件及主振型归一化条件确定;常数b，则由初始条件确定。

12铁木辛柯梁振动方程

伯努利欧拉梁理论只适用于细长梁或细长杆，对于波长能够与梁的横向尺寸相比较的梁，或者分析细长梁的高阶振型时，上述结果不再适用，必须考虑转动惯量及剪切变形对控制方程的影响。

关于在初等梁理论中增加转动惯量的影响首先是Rayleigh提出的，而Timoshenko又指出剪切变形的影响与转动惯量的影响是同等重要的。所谓Timoshenkobeam理论是同时计及了这2种效应的影响对初等理论进行了修正。

考虑了剪切变形和转动惯量影响后梁的振动方程式中，G为剪切弹性模量;为截面形状系数(<1，对于矩形截面=0833，对于圆形截面=09)。式(4)中第2项系数的两项分别反映了剪切变形及转动惯量的影响，而最后一项则是剪切变形及转动惯量共同影响而产生的。

2超声波电机定子弯曲振动固有频率与主振型

21环形定子的固有频率与主振型

环形超声波电机的定子相当于两端简支的梁，下面利用简支梁边界条件来求解等截面梁在两端简支时的主振型和频率方程。

长为l的梁，两端简支的边界条件为在梁的简支端上位移y与弯矩T等于零。

22柱体定子的固有频率与主振型

下面仍然以两端简支的等截面梁为例求其固有频率。利用其边界条件式(5)，并假设主振型式中，r=I/A为惯性半径。式(9)与式(8)第2项内第1个因子相比可见，若r/l1，即梁为细长梁，则在考虑剪切变形的影响时可将式(8)中的末项略去不计，这样利用二项展开式可得式(10)即为考虑剪切变形和转动惯量时等截面梁在两端简支时的弯曲振动固有频率计算公式，可见，剪切变形和转动惯量的存在都使得梁振动的固有频率降低，而且这种影响随着固有频率阶数的增高而增加，随着梁的细长比l/r的增大而减小。[#page#]

3剪切变形与转动惯量对超声波电机振动特性的影响

以相当于矩形截面梁(=0833)的直径为100mm的环形超声波电机和相当于圆形截面梁的直径20mm的柱体超声波电机为例，计算剪切变形与转动惯量的影响。

100mm直径环形超声波电机定子环的基本参数为：振动体中心线直径d=88mm，长l=d=27646mm，高h=5mm(等效梁高)。利用等截面梁剪切弹性模量与弹性模量的关系G=38E，可得EG=E0833E83=32可见，此时剪切变形的影响约为转动惯量影响的32倍。

该电机工作时采用B011振动模态，对应一个弯曲行波的波长为l/i=27646/11=2513，是梁高的503倍，梁的惯性半径为r=h/23.根据式(10)，则转动惯量对固有频率的修正为剪切变形的影响是转动惯量影响的32倍，所以两项影响的总修正约为78.可见剪切变形和转动惯量对大直径环形超声波电机弯曲振动有一定影响，即对于并不属于细长梁的环形超声波电机应考虑剪切变形和转动惯量影响，否则结果会有误差。只有当振动波波长是梁高的10倍以上时，上述两项的总影响将小于17，此时忽略剪切变形和转动惯量影响是可行的。由此可见，对直径100mm的环形超声波电机而言，精确计算其振型与固有频率时应考虑剪切变形和转动惯量的影响，但伯努利欧拉梁理论引起的误差不大，在估算时可以采用。

以相当于圆柱型梁(=09)的双转子柱体超声波电机为例分析剪切变形和转动惯量对其振动频率的影响。该电机的基本参数为：振动体长l=40mm，直径d=20mm.同样利用等截面梁剪切弹性模量与弹性模量的关系G=38E，可得EG=296.即剪切变形的影响约为转动惯量影响的3倍。该电机工作时采用自由自由一阶弯曲振型，对应的波长(l/i=40mm)是梁高(h=20mm)的2倍，即对于梁高与波长接近的柱体超声波电机而言，在进行振动分析与计算时，必须考虑剪切变形和转动惯量的影响，即必须采用铁木辛柯梁理论来分析。

4结语

本文应用伯努利欧拉梁理论和铁木辛柯梁理论对环形超声波电机和柱体超声波电机的振型和对应振动频率进行了计算，研究了剪切变形与转动惯量对超声波电机振动的影响，并得到了有用的结论。但事实上，铁木辛柯梁理论研究的是等截面直梁，并没有考虑振动体曲率对振动的影响，由于曲率的存在，振动体上必定还存在着弯矩。当环形超声波电机的直径较小时，曲率很大，弯矩对振动的影响就不能忽略。如变截面短柱型超声波电机，由于其直径和弯曲振动波的波长接近，因而铁木辛柯梁理论是否适用，还需要进一步的研究。

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