分布式运算单元的原理及其实现方法

随着FPGA集成度的不断提高，在单片FPGA中完成复杂的数字信号处理过程变成了现实。譬如：FIR滤波器、FFT以及雷达信号处理中的数字脉冲压缩、数字鉴相等，都可以在单片FPGA中实现。在基于Xilinx XC4000系列FPGA设计的DSP中，分布式运算单元DA扮演着重要的角色。本文介绍其原理及其实现方法。
1 分布式运算单元原理
DA的运算原理非常简单，但是它的应用却十分广泛。
一个线性时不变网络的输出可以用下式表示：

其中， y(n)为第n时刻网络的输出；Xk(n)为第n时刻的第k个输入变量；Ak为第k个输入变量的权值。
在线性时不变系统中，对于所有n时刻，Ak都是常量。如果该网络表现为滤波器，常量Ak 即为滤波器系数，变量Xk为单一数据源的抽样数据(如A/D的输出)。而在时－频转换系统中(如离散傅立叶变换及快速傅立叶变换)，常数Ak即为旋转因子值，变量Xk为单一数据源的数据块(多源数据的例子可以在图像处理系统中发现)。
仔细观察式(1)可以看出，单个输出y(n) 需要将k个乘积累加。在以XC4000系列FPGA中的可配置逻辑功能块(CLB)的查找表(Look－Up Table)结构[1]为基础的DA中，这种乘积累加可以由查找表来实现。XC4000系列的CLB结构特点使得它很容易被高效的配置。
为了使得乘法之后的数据宽度不至于展宽，先把数据源数据格式规定为浮点数2的补码形式。需要注意的是，常数Ak 不一定要进行格式转换来匹配输入数据的格式，它可以根据所要求的精度进行定义。
变量Xk可以用下式表示：

其中，Xkb为二进制数，即取值为0或1；Xk0为符号位，Xk0为1表示数据为负，为0表示数据为正。
将式(2)代入式(1)可以得到：

可以看出，每个方括号中进行的是输入变量的某一个数据位和所有常数(A1～Ak)的每一位进行位与并求和。而指数部分则说明了求和结果的位权。现在就可以建立查找表来实现方括号中的操作了，其查找表用所有输入变量的同一位进行寻址，如图1所示。

图1中所示的DA查找表，其宽度为对常数Ak 定义的宽度，深度为2K，K是能够对数据源抽样数据进行处理的数据长度，对于滤波器就表现为滤波器阶数；对于FFT就表现为FFT点数。
这样，式(1)所表示的方程就可以由加法、减法和二进制除法来实现了。但是，DA仅仅是运算方程(1)的核心，要完成式(1)还需要根据系统对时间以及FPGA资源的考虑，选择相应的方法。
2 几种实现方法
2.1 全并行实现方法
市场上已经有大量的通用DSP芯片，这些芯片以并行的乘法、加法运算，地址产生器和片内存储器为主要特点，如TMS320C620x、 ADSP2106x、及各种通用的FFT芯片(如PDSP16510)。为什么还要选择FPGA呢？主要是考虑速度。要实现一个64阶FIR滤波器，如果采用全并行方式，FPGA可做到50MHz的数据率，可以和系统时钟相匹配，这是通用DSP芯片无法做到的。下面就举出全并行的例子。[!--empirenews.page--]
若将式(4)每个方括号之间的加法并行执行，即将每个DA查找表的输出采用并行的加法，就得到了全并行结构。现将式(4)中的某个方括号重写如下，并缩写为sum：

利用式(6)，可以得到一种直观的树形阵列，如图2所示。

图2中，首先要建立一个K×B位的寄存器阵列，将其输出进行排列，用所有K个输入数据的相同位，对 DA查找表寻址，从图中可以看出，当B＝16时，输入到输出所需的路径最长，该路径为关键路径，影响着电路处理的速度，在进行设计时应该注意到这点，所以应该采用流水线设计方法[1]，并进行适当的约束，其数据率可以达到50MHz。图中的15个节点代表着15个并行的加法器，中间过程的数据宽度既可以保持双精度(B+C)位数据(C是常数Ak的宽度)，也可以采用截尾的办法得到单精度B位数据，可根据系统所要求的精度确定。
2.2 全串行实现方法
当系统对速度的要求不是很高的时候，可以用全串行设计方法，即一个DA查找表，一个并行的加法器以及简单少量的寄存器就可达到目的，这样能够节省大量的FPGA资源。同样，设K＝16，B＝16，将式(4)改写如下形式：

为了实现式(7)，先从最低位开始，用所有K个输入变量的最底位对DA查找表进行寻址，得到了[sum15]，将[sum15]右移一位即将 [sum15]乘2－1后，放到寄存器中，设为[tem15]；同时，K个输入变量的次低位已经开始对DA查找表寻址得到[sum14]，右移一位后，与 [tem15]相加，重复这样的过程，直至得到[sum0]，并用前面得到的累加结果减去[sum0]。要实现上述过程，需要K个长度为B的串并行转换移位寄存器、一个容量为2K×C的DA查找表和一个累加器。该全串行电路的数据率为输入数据抽样频率的1/B，即完成一次运算需要B个时钟周期。由此可以得到全串行DA模式，如图3所示。

2.3 串并行相结合实现方法
以上介绍的全串行方式是每个时钟周期对所有K个变量的一位进行串行处理，全并行方式是每个时钟周期对所有K个变量的所有B位进行并行处理；这两种方法是针对速度优化和资源优化设计的两种极限情况。在有些情况下，我们可以对这两种情况进行折中考虑，获得最佳资源利用和系统速度。我们可以从每个时钟周期对K个变量的两位进行处理开始着手，回顾一下式(5)，并将该式改写如下：

完成该式功能的功能框图如图4a所示。[!--empirenews.page--]
将图4(a)与图3进行比较后就可以发现，图3中的DA查找表由16个输入变量的同一位进行寻址，而图4(a)中的DA查找表的寻址是由16个输入变量的连续两位进行的，即寻址的位数由16位变成了32位。这样，查找表的内容也需要相应的改变；而且完成一次运算也由原来的B个时钟周期变成了需要B/2+1个时钟周期。
下面介绍一种更易于理解的串并行混合设计方法。
将式(5)改写成如下形式：

从式(9)得到流程图如图4(b)所示。
实现过程中应该注意DA查找表的内容，累加之前要乘2-1，注意进位等。
从以上给出的两种串并行结合的设计方法可以看到，只要将式(5)进行适当的变换，还有其它的硬件实现方法，这里就不一一叙述了。
下面给出在K＝8、B＝16的情况下，不同的DA查找表所占用的资源。Xilinx公司的XC4000系列FPGA的一个CLB可以实现32×1大小的RAM，在图4(a)中所描述的DA查找表占用2,048个CLB，而在图4(b)中所描述的两个DA查找表只占用256个CLB。用一片XC4025即可完成后者，其数据率可达到16MHz。

综上所述，由于分布式运算单元的应用，改变了传统的设计观念，为基于FPGA的DSP设计提出了新的思路，必将在高速的FIR滤波器设计、高速FFT设计中得到广泛的应用。随着FPGA集成规模的不断提高(Xilinx公司Virtex系列已经达到了百万门级)，许多复杂的数学运算已经可以由FPGA来实现，单片FPGA实现系统的设想即将变为现实。