采用线性累积模型分析电缆绝缘寿命试验数据

　  摘 要：采用线性累积模型对具有无故障寿命的某型号电缆绝缘性能步进应力加速寿命试验数据进行了分析，给出了在多截尾情况下参数的极大似然估计和似然函数的通式。

    关键词： 电缆 线性累积模型 步进应力 加速寿命试验 极大似然估计

    随着科学技术的发展，产品的质量在不断提高，一些产品已呈现出无故障寿命，特别是在电子行业，环境应力屏蔽的广泛使用，使电子产品出现了较长的无故障寿命。此时，那些不考虑无故障寿命而分析产品寿命分布数据的模型（如Nelson模型[1]）就不再适用了。本文采用线性累积模型对具有无故障寿命的产品的步进应力加速寿命试验数据进行了分析，取得了比较好的效果。

    1 提出问题

    为了解某型号电缆的绝缘性能，对其绝缘寿命进行了定时截尾步进应力加速寿命试验。表1是试验时各阶段的应力水平Si，表2是部分试验数据。

    各个应力水平下电缆绝缘寿命服从威布尔分布，其可靠度函数为：

    其中，i=1，2，．．．N（N为应力水平数）；γi、ηi分别为位置参数和尺度参数，均与应力水平有关；β为形状参数，反映失效机理[2]。本试验的前提是失效机理不发生变化，因而β是一个常量。那么，怎样根据表中所给的数据来估计这些参数呢？

    2 分析问题

    2.1线性累积模型

    从总体中抽取一个样本，在应力水平Si下产品有一个确定但未知的寿命t（i，R），t（i，R）可解释为Si下产品寿命分布的1－R分位数。线性累积模型需要作如下的假设：

    假设Ｉ 样品在应力Si下保存时间△ti，该应力水平下样品的疲劳效应为△ti／t（i，R）；

    假设ＩＩ 任意一样品其疲劳效应是线性累积的，即：单个产品在应力Sk下保存△tk时间，k=1,2,．．．i其累积疲劳效应为：

    

    假设ＩＩＩ 剩余产品在某应力下的等效起始时间只与其先前的累积疲劳效应有关，而与累积方式无关。于是有：



    其中τｉ为折算到应力水平Si+1下的时间，即Si+1下的起始时间。

    由假设ＩＩＩ可知，对于线性累积模型有：

    由（３）式可推出样品在对应于的应力水平下的等效累积工作时间为：



    由（４）式可以得出在应力水平Si下的等效工作时间。在失效机理保持不变的情况下，步进应力方案的试验数据可转化为任意给定应力水平下的等效工作时间其值为：

    当i=4时，（５）式可用图1来描述。

    2.2 非参数估计

    假定随机样本量为n，所有样品有相同的起始应力和应力递增量，除了失效时所对应的应力外，样品在相同应力水平下的保存时间相同。试验过程中出现r个产品失效，rc个右截尾数据，剩余n－r－rc个样品在起始点和右截尾时刻之间的任意时刻截尾。对于r个失效产品，在应力水平Si下的保存时间△ti,j，有j=1,2,．．．r，i=1,2,．．．Nj（Nj为产品失效时所经历的应力水平数）。对于rc个右截尾样品，在应力水平Si下的保存时间△ti,j，有j=r+1,r+2,．．．r+rc，i=1,2,．．．Nc（Nc为产品从零点到右截尾时所经历的应力水平数）。对所有的j，有Nc≥Nj。

    由（４）式，失效样品ｊ在Ｎｊ个应力水平下的总工作时间折算到Snj下的等效工作时间为：

    同理，未失效样品j在Nc个应力水平下的总工作时间折算到Snc下的等效工作时间为：

    对r+rc个样品，从Nelson－Altshuler[3]方法中可以得出Rj的估计值为：

    其中，mk为样品j失效前仍在参加试验的样品数。则在应力Si下样品j的t（i，Rj）可以从下式估计出来

    

    其中F（·）为累积分布函数；θ为待估参数。

    根据极大似然估计原理及似然函数

    可得到θ的估计值。

    3 解决问题

    很多试验数据都表明（１）式中γｉ和ηｉ随着应力水平的增大而减小，工程应用中常采用以下的关系式来描述γｉ和ηｉ与应力水平Si之间的关系[4]：

    其中，a、b、c、d均为常数。

    由（１）、（１１）、（１２）式可得t（i，Rj）及累积分布函数的表达式分别为：

    结合表1、表2中的数据，由（６）、（７）、（８）、（１０）、（１３）、（１４）式可得出a、b、c、d的极大似然估计值（见表3）。

    由表3可以看出，若采用双参数威布尔分布，本文给出的线性累积模型与Nelson模型的结果非常接近，一方面这是因为两者都没有考虑无故障寿命，另一方面，说明线性累积模型本身是正确的。当γ≠０时，两种模型的结果相差较大，这表明线性累积模型在解决无故障寿命问题上效果是明显的。在威布尔分布背景下，线性累积模型可以根据产品有无无故障寿命，分别对γ值设成非零值和零值，因此可以认为线性累积模型是Nelson模型的扩展。